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標 例題
138 正弦・余弦定理を利用した測量(2)
1km離れた海上の2地点A, B から,同じ山
頂Cを見たところ, A の東の方向, 見上げた
角が30℃, Bの北東の方向, 見上げた角が45°
の位置に見えた。この山の高さ CD を求めよ。
ただし,地点DはCの真下にあり, 3点A,B,
GUIDE
B
D は同じ水平面上にあるものとする。 また,62.45 とする。
CHART
1 CD=hkm として, AD, BD をんで表す。
解答
山の高さ CD をhkm とする。
△ACD は,30°60°90°の直角
三角形であるから
測量の問題
図をかいて、線分や角を三角形の辺や角としてとらえる
[2] ∠ADB の大きさを求める。
･･「Aの東, B の北東の方向に山頂Cが見えた」という条件に注目。
3 △ABD に注目して余弦定理を利用し, h を求める。
A
30°
√3hkm
h²=
12=(√3h²h²-2√3hhcos45°
ん>0 であるから
1km
AD=√3hkm
また, ABCD は, 45° 45°90°
の直角二等辺三角形であるから
BD=hkm
次に,地点Dは,A の東の方向かつBの北東の方向にあるから
∠ADB=45°
△ABD において, 余弦定理により
A
B
45°
45
h km
すなわち 1=3h²h²-√6h² よって (4-√6) h²=1
4+√6
ゆえに
1km
hkm
D
4+2.45
4-√6 (4-√6) (4+√6) 16-6
=0.645
-計算は電卓による
h=√0.645=0.8031･･･ 答約 803m
30°
| TRAINING 138③
同一水平面上に3地点 A, B, C があって, C には塔PC が
立っている。
AB=80m で,∠PAC=30℃, ∠PAB=75°,∠PBA=60°
であった。 塔の高さ PC を求めよ。
ただし, 答えは根号がついたままでよい。
45
←CD: AC: AD
=1:2:√3
← BD : CD : BC
=1:1:2
<cos 45º =
--4
分母の有理化
分母・分子に4+√6を
掛ける。
A
30°
17.5
180m
60°
B
10
例題
139 正四面体の切り口の三角
1辺の長さが4である正四面体 AB
CDの中点をMとし,∠AMB=6
cose の値を求めよ。
(②2) ABM の面積を求めよ。
CHART
空間図形の問題 平面図形(断面図)を取り出す
線分や角は三角形の辺や角としてとらえる
平面図形 (ここでは△ABM) を取り出すと、 例題131と同じ方針で考えることができ
(2) かくれた条件 sin'0+cos0=1 から sine の値を求め、面積の公式に代入する。
(1) COSO を △ABM の1つの角の余弦ととらえ、 余弦定理を利用する。
GUIDE
(1) ACM, ABCM は, 内角が30%, 60,
90°の直角三角形であるから
AM=M=√3CM=√3.2=2√/3
△ADM において, 余弦定理により
で
Cose (2√3)² + (2√3)²-4²
2.2√3-2√3
65
15
(2) 1から
Dit
Dは
sin20=1-cos'0=1-
sin9>0であるから sin
よって、ABの面積は
AABM
-1-( - ) --
on thi
8
24
BM sine=
1
辺
A(B)
30° 30
4
<60° 60%
M
14√).
4
2/2
の長さを求めよ。
(2) ADF とおくとき, cosd の値を求めよ。
AAEDの面積を求めよ。
D
CM: AC:.
-CM: BC
-1:2:√3
B
2.
sin'+co
6450
RAINING 139
1辺の長さが3である正四面体 ABCD において、C上に点Eを
となるようにとる。
(L)【緑
