[考え方
例題 B1.6 2つの等差数列に共通な数列
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初項4,公差3の等差数列{an} と,初項 200, 公差 5 の等差数列{b}
がある. 数列{a} と数列{bm} の共通項を,小さい方から順に並べてでき
る数列{cm}の一般項と総和を求めよ。
B1-9
第1章
【解答 1 数列{a} と数列{bm} の正の項を小さい順に並べた数列{d} を書き出すと、数列
{cm} の初項がみつかり、数列{cmの規則性もわかる』
解答 1
解答2 (数列{a} の第l項)=(数列{bm} の第m項)として,自然数 em の関係式を
求め, l m のいずれかを自然数で表す.
{a}:4,7,10, 13, 16, 19, 22, 25, 28,
数列{bm} の正の項を小さい順に並べた数列{d} は,
{dn}: 5,10,15,20,25,30,
よって, 共通項の数列{ch} の初項は10
数列{a} の公差は3, 数列{d} の公差は5であるから,
数列{cm}は3と5の最小公倍数 15 を公差とする等差数
列である. よって, 数列{cm} の一般項は,
cn=10+(n-1)×15=15n-5
また, 10≦cm≦200 より,
10≦15η-5≦200
41
したがって, 1≦n- より n=1,2,
3
..... 13
よって、数列{c} の総和は,
解答 2 =4+(n-1)×3=3n+1
113{2×10+(13-1)×15}=1300
b=200+(n-1)×(-5)=-5n+205
すると,
3ℓ+1=-5m +205
201
an=4+(n-1)・3
=3n+1
b=200+(n-1)・(-5)
=-5n+205
b>0 となるnの値は,
n≦40 より,
数列{dn} は,
d=640=5で,公差は5
{cm} は初項 c1=10 以上,
{bm} の初項 200 以下であ
る。
S,=1/2n{2a+(n-1)d}
3l-204-5m より 3l-68)=-5m
3と5は互いに素で l m は自然数であるから,
m=3k(kは自然数)と表せる.
4≦bm≦200 より
したがって,
bm=-5×3k+205=205-15k
4205-15k≦200
1
3
-≤k≤- より, k=1, 2, 3,
5
13
67
数列{a} の第ℓ項と数列
{bm} の第項が等しいと
する。
mは3の倍数
{cm} は, a1=4 以上,
b= 200 以下である.
数列{cm} は, bm=205-15kにん 13, 12, 11,
1 を代入して得られる数列だから,
{c}:10, 25, 40,
***, 190
よって, 初項 10, 公差 15, 項数 13の等差数列より,
cn=10+(n-1)×15=15n-5
また、数列{cm} の総和は,
の総和は1.13(10+190)=1300s.=..
S₁ = ½n (a + b)
2
