34. 空間図形の解法 103
例題 54 10分15点
△ABCにおいて, AB=4, BC = 5, CA=√21 とする。このとき,
∠ABC= [アイ°であり, △ABCの面積は ウエ である。
△ABCの外接円の中心を0とすると,円の半径はオである。
キ・
△ABC を底面とする三角錐 PABCにおいて, POは点Pから底面 ABCに
下ろした垂線であるとする。 tan PAO=3であるとき,PO=カ
であり, 三角錐 PABCの体積はクケコ, △PAB の面積は
サスである。
の
|解答
余弦定理により
4
V21
c²+a²-6²
定理)
cos ABC=-
42+52-(√21)
1
cos B=
2ca
2・4・5
2
.. ∠ABC=60°
B
・5
高さ
△ABCの面積は
1/24・5sin60°=5/3
外接円の半径をR とすると, 正弦定理により
R=-
=
√21 √21=√7
2 sin 60° √3
A
△PAO は∠POA=90° の直角三角形であ
るから
PO=AOtan/PAO=3√7
よって, 三角錐 PABCの体積は
13.5√3-3√7=5√21
P
cos 60°=-
2
O
0
B
sin 60=√
sin 60°=
<-A0=R
2
1840
△PBO と △PAO は合同であり
PA=PB=√(√7)2 + (3√7)^2=√70
√70
√70
であるから, 点P から辺ABに下ろした
垂線をPH とすると, 三平方の定理により
1/3△ABC・PO
PO共通
∠POA = ∠POB(=90°)
OA=OB(=R)
PH=√(√√70)-2²=√66
◆Hは辺ABの中点。
よって, △PAB の面積は
A H
B
2.4.√66=2√66
