10本のくじの中に2本の当たりくじがある。当たりくじを3回引くまで繰
50 反復試行の確率 P。の最大
307
重要例題
*あ
①○OOO
返しくじを引くものとする。ただし、一度引いたくじは毎回もとに戻す。
n回目で終わる確率を P,とするとき
*、45
n23 とし,
(1) Pa を求めよ。
(2) P,が最大となるnを求めよ。
【類名古屋市大)
基本 45,47
lOLUTION
JHART
確率の大小比較 比
Pn+1
をとり、1との大小を比べる
Pr
(2) Paが最大となるnの値を求めるには、Pa+1と P,の大小を比較すればよい。
確率の問題では、Pnが負の値をとらないことと, P,がnの累乗を含む式で表
されることから,比 をとり、1との大小を比べる とよい。
P。
n回目で終わるのは,(n-1)回目までに2回当たりくじ | (2) Patt
を引き,n回目に3回目の当たりくじを引く場合であるから
{(n+1)-1}{(n+1)-2}
8 n-3
2
P=ュー1C2
10
…… Pのnの代わり
にn+1とおいたもの。
2
15
(n-1)(n-2)
P。
2
2
4n
5(n-2)
4n
5(n-2)>1
これを解くと
Pn+1/1 とすると n>10
Pati>1 とすると
Pa
*5(n-2)>0 であるから,
不等号の向きは変わら
ない。
すなわち 4n>5(n-2)
n<10
Pn+1
P
=1 とすると
n=10
Pn
P,の大きさを棒の高さ
で表すと
よって,3Snミ9 のとき
のとき
のとき
Pn<Pn+1,
n=10
Pn=Pn+1,
最大
11Sn
Pn> Pn+1
増加
減少
ゆえに Ps< P<……<P。<P.o=Pu, Plo=Pu>P2>…
したがって, Pn が最大となるnの値は
n=10, 11
34
91011 12
n
PRACTICE…50
さいころを,1の目が3回出るまで繰り返し投げるものとする。 n回目で終わる確宅
をP,とするとき, 次の問いに答えよ。 ただし, nè3 とする。
(1) P,を求めよ。
【類 九州工大
(2) Pnが最大となるnを求めよ。
