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数分解できる。
もち
次式×2次式
よ」とい
解すればよい。
の
指針
与式がx、yの1次式の積の形に因数分解できるということは、
(与式)=(ax+by+c)(px+y+z)
例題
47 因数分解ができるための条件
00000
x2+3xy+2y2-3x-5y+kがxyの1次式の積に因数分解できるとき、定数k
の値を求めよ。 また、 その場合に、この式を因数分解せよ。
[東京薬大]
基本46
を利用
=0
とおいて解く
の公式。
狐の前の2 (0)
解答
を忘れないよう
数の範囲の因数
ら
x=
-3(y-1)±√9(y-1)2-4(2y2-5y+k)
2
==3(y-1)±√y2+2y+9-4k
の形に表されるということである。 恒等式の性質を利用(検討参照) してもよいが、 こ
そこでは,与式を2次式とみたとき, = 0 とおいたxの2次方程式の解の1
次式でなければならないと考えて、その値を求めてみよう。
ポイントは、解がの1次式であれば、解の公式における内がりについての完
平方式(多項式)”の形の多項式] となることである。
P=x2+3xy+2y2-3x-5y+k とすると
P=x2+3(y-1)x+2y2-5y+k
P=0をxについての2次方程式と考えると、解の公式か
x”の係数が1であるか
ら,xについて整理した
方がらくである。
2
2章
解と係数の関係、解の存在範囲
e:
と
この1=12-(9-4k)=4k-8=0
ゆえに
k=2
4
里の因数分
_-3(x-1)+√(+1)
-3y+3±(y+1)
(y+1)^=ly+1|であ
=
による。
このとき x=
2
すなわち x=-y+2, -2y+1
ないよう
よってP={x-(-y+2)}{x-(-2y+1)}
=(x+y-2)(x+2y-1)
+x(1+28)るが、土がついているか
ら,y+1の符号で分け
る必要はない。
(p+4)=(0-
恒等式の性質の利用
検討
2
この2つの解をα, β と
すると, 複素数の範囲で
はP=(x-α)(x-β)
と因数分解される。
Pがx,yの1次式の積に因数分解できるためには,この
解がyの1次式で表されなければならない。
よって,根号内の式y2+2y+9-4kは完全平方式でなけれ 完全平方式
ばならないから, y2+2y+9-4k=0 の判別式をDとする
⇔=0が重解をもつ
⇔判別式 D=0
ると, 1
いない
(1)x2+xy-6y-x+7y+k
x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y) であるから,与式が x, yの1次式の積に因数分解できると
すると,(与式)=(x+y+a)(x+2y+b) ① と表される。
......
①は,xとyの恒等式であり, 右辺を展開して整理すると
(与式)=x2+3xy+2y2+(a+b)x+(2a+b)y+abとなるから, 両辺の係数を比較して
a+b=-3,2a+b=-5,ab=k これから,kの値が求められる。
い
歌の
8A
10-1-x+(8-x)(ローズ)
練習 次の2次式がx,yの1次式の積に因数分解できるように、定数kの値を定めよ。
③ 47 また,その場合に,この式を因数分解せよ。
(8-8) (2) 2x2-xy-3y²+5x-5y+k
