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演習 例題224/ 3本の接線が引けるための条件 (2)
|f(x)=x-xとし, 関数 y=f(x) のグラフを曲線Cとする。 点 (u, v) を通る曲
線Cの接線が3本存在するための,の満たすべき条件を求めよ。 また、その
[類 鹿児島]
条件を満たす点(u, v) の存在範囲を図示せよ。
指針 前ページの演習例題223と考え方は同様である。
曲線C上の点(t, f(t)) における接線の方程式を求める。1つ
2② ① で求めた接線が,点(u, v) を通ることから,
.tの3次方程式を導く。
③3 ②の3次方程式が異なる3個の実数解をもつ条件を, u, vの式で表す。
解答
f'(x)=3x²-1であるから, 曲線C上の点の座標を(t, f(t))
とすると,接線の方程式は
y-(t³-t)=(3t²-1)(x-t)
すなわち
y=(3t²-1)x-2t³
この接線が点(u, v) を通るとすると
よって
2t³-3ut²+u+v=0
①
+48-20
3次関数のグラフでは、接点が異なれば接線も異なる。 前ページの検討 参照。
ゆえに,点(u, v) を通るCの接線が3本存在するための条件
は、tの3次方程式 ① が異なる3個の実数解をもつことである。
よって, g(t)=2t3-3ut'+u+cとすると, g(t) は極値をもち,
極大値と極小値が異符号となる。
g'(t)=6t2-6ut=6t(t-u) であるから
u=0 かつ g(0)g() <0
g(0)g(u)<0から
(u+v)(-u³+u+v) <0 .......
②②
②でu=0 とすると<0 となり,これを満たす実数は存在
よって
しない。 ゆえに,条件 u≠0 は②に含まれるから、求める条件
は ② である。
②から
[u+v>0
1-u³+u+v<0
u+v<0
l-u³+u+v>0
v>-u
または
HOLOND
v=(3t²-1)u-2t³
10-u
[v>u²³-v
または
したがって,点(u, v) の存在範囲は
右の図の斜線部分。 境界線を含まない。
V.
✓30
2√3
9
2√3
9
√3
3
基本 219, 演習 223
◄y-f(t)=f'(t)(x-t)
TERRI
p.337 の例題219 参照。
g'(t)=0 とすると
t=0, u
u=0のとき, t=0,uの
うち一方で極大,他方で極
小となる。
v=uuのとき
v=3u²-1
'=0とすると
√3
3
u=±.
v=
u=±
√√3
3
2√3
9
のとき
(複号同順)
330
直線 vu は曲線C の
原点Oにおける接線。
