白で書
110
例題
準 62 対数を利用する微分
関数
4
x"
y=
Vx +1
を微分せよ。
CHART
& GUIDE
(C)
累乗の積と商で表された関数の微分
両辺の対数をとって微分する
1 両辺の絶対値の自然対数をとる。
2 対数の性質を用いて,積を和, 商を差の形に,指数は前に出す。
3 両辺をxで微分する。
4 y'′ を求める。
<<<基本例題61
i
000
解答
x4
x
x"
log|
=log|
白
x+1
x+1
3
-10g|x+1|
から, 関数の両辺
<<log M=klog M
の絶対値の自然対数をとると
10800x
!
log|y|=1/1/1 (410g|x|-log|x+1)
3
M
N
log = logM-logN
書い
この式の両辺をxで微分するとュ)-(1.
y' 1
y
3x
1
x+1
4(x+1)-x3
1
3 x(x+1) 3x(x+1)
3x+4
←(log|y|)'="
y
よって y=x3x+4
x(3x+4)
前ページ Lecture 参照
=
x+13x(x+1)
3(x+1)x+1
分母を3(x+1)* とし
してもよい。
Lecture 対数微分法
対数には,logMN=logM+logN, log = logM-logN,
xol
M
N
log M=klog M
の性質があるから,複雑な積, 商累乗の形の関数の微分では,両辺(の絶対値)の自然対数を
ってから微分する (対数微分法という)と、計算がらくになることがある。
また、例題の関数の定義域には, x<0 を含むから, 両辺の自然対数を考えるときは絶対値を
とってから自然対数をとっていることに注意しよう。
なお, αを実数とするとき (x)'=ax-1 (x>0) が成り立つ。このことは, 対数微分法を用
て,次のように証明される。
証明 y=x の両辺の自然対数をとると
logy=alogx
両辺をxで微分すると
y=a.-
1
y
よって(x)'=y=uy=a
x
x
x
TRAINING
62 ③
←x>0 であるからy>0
xa
=axa-1
次の関数を微分せよ。
(1)y=xx (x>0)
(2)
(x+2)4
(3) y=3√x²(x+1)
