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仮説検定
こう解く!
以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて巻末の正規分布表を用いてもよい。
次のような科学者A博士のメモが見つかった。
性質をもつ確率は0.3である
このメモでは、小数第2位の数字が3であるかはっきりしない。
仮説検定をすることで,この確率の値について考えてみよう。
(1)実際に粒子 R を100個取り出したところ, 31個が性質Pをもっていたとする。 性質Pをもつ確
率は0.33 より小さいと判断してよいかを,片側検定を用いて,有意水準5%で検定する。 帰無
仮説は = 0.33 であり、 対立仮説はが 10.33 である。
解答群
① >
ア
② キ
帰無仮説が正しいとする。 粒子Rを1個取り出すとき、性質をもつならば1, もたないなら
ば0の値をとる確率変数を Xとする。 Xの期待値をE(X), 分散をV(X),標準偏差をとする。
E(X) は 0. イウ であり,V(X)は0.エオである。
粒子 Rを100個取り出したときに性質P をもつものの個数は,二項分布 カに従う。
カの解答群
⑩ B(100, 0.33) ① B(100,0.31) ② B(10, 0.33) ③ B (10, 0.31)
STEP 帰無仮説を正しく捉えよう
1 ●帰無仮説が = 0.33 である
から,確率の計算はその値を
用いて行う。
とみなすと Z=
は近似的に標準正規分布に従う。
粒子Rを100個取り出したときに性質Pをもつものの割合をYとする。 個数 100 が十分大きい
Y-#
ク
の解答群 (同じものを繰り返し選んでもよい。)
⑩ 0.31 ① 0.32 (2 0.33 ③ 0
11001000
ケ
2
STEP 標準正規分布に近似しよう
nが十分大きいとき二項分
布は正規分布に近似でき、さ
そらに確率変数の標準化により
標準正規分布に近似できる。
ここではn=100 が 「十分大
「きい数」 であることが示され
ている。
=0.47 と近似すると,P(Y0.31) の値は であり、実際に100個取り出して31個が性
質Pをもっていたとしても、帰無仮説は棄却されず,確率は0.33より小さいと判断できない。es.
0001
ケについては、最も適当なものを、次の①~④のうちから一つ選べ。
⑩ 0.11 ① 0.27 ② 0.33 ③ 0.47 ④ 0.66
(2)粒子R を取り出す個数をnとする。 0.31 個が性質Pをもっていたとする。 n を十分大きいとみ
なし(1)の100に変えて検定するとき、帰無仮説が棄却されるようなnの値として適するものは
200,500, 1000, 2000, 5000, 10000
のうちに全部でコ 個ある。
STEP を大きくして考えよう
3 取り出す個数nが大きければ
大きいほど棄却域に入りやす
くなる。 0.31が棄却域に入る。
ような大きさのn を考えよう。
解 答
(1) 実際の標本における性質Pをもつものの割合
小さく, 片側検定を用いるので, 対立仮説は
31
= 0.31 が 0.33 より
100
p < 0.33 (
1
帰無仮説が正しいとすれば,性質Pをもつ確率が p=0.33 であるから
イウ
E(X)=p=0.33A
(1
A
エオ
V(X)=p(1-1) = 0.33×0.67=0.2211≒0.22
粒子 R を100個取り出すとき,p=0.33 であるから,性質をもつも
のの個数は二項分布 B (100, 0.33) に従う。
個数100が十分大きいとみなすと, 二項分布は近似的に正規分布に従う。
したがって,粒子Rを100個取り出したときに性質をもつものの割
定義に従うと
B)
1
E(X) = 0.P(X=0)+1・P(X=1)
=0.0.67+1・0.33
=0.33
1
となる。
CB
合を Y とすると, Yは期待値が E (X), 標準偏差が
0
分散の公式を用いて
100
10
の正規
分布に従う。 Point
V(X)=E(X2)-{E(X)}
= 0.33-(0.33)
実
定
標準
0=0
であ
