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261 面積の最大 最小 〔1〕･･･ 放物線と直線 ★★★☆
点A(1,2)を通り,傾きの直線を1とする。 直線と放物線 C:y = x2
で囲まれる部分の面積Sが最小となるような定数mの値, およびそのと
きの面積Sの最小値を求めよ。
の構図になる。公式の利用
思考プロセス
« Re Action 放物線と直線で囲む面積は,
「(x-2)(x-B) dx=-1/ (Ba)を用いよ491255
CとIの方程式を連立すると,α,βは複雑。
直接 β-αを求める。
(β-α)3
解と係数の関係から考える。
□点A(1,2) は放物線 Cの上側の点であるから,放物線C と
直線は異なる2点で交わる。
241
直線の方程式はy=m(x-1)+2 であるから,
放物線y=x2 との交点のx座標は
判別式をDとすると
D=m²-4m+8
=(-2)^+4> 0
y-2=m(x-1)
まれx=m(x-1)+2
例題
すなわち x-mx+m-2=0
の実数解である。 2つの実数解を
α, β (α <β) とすると
S=
Sm(x-1)+2-x)dx
CB
=(x-mx+m-2)dx
249
よって
a
ただ
例題
・B
-(x-a)(x-B)dx
35 ここで,解と係数の関係より
ゆえに
a+β=m, aβ=m-2
1(B-α)
6
(βα)²= (a+β)2-4aB
=m²-4m+8
= (m-2)2 +4
=
y=x
a (
1 B
α <βより,β-α > 0 であるから, β-αは
m=2のとき 最小値 √4=2
したがって,Sは
4
m=2のとき 最小値
6
3
23
11
-
=2
a
x-mx+m-2=0 を実
際に解くと
x =
であり
m±√m²-4m+8
2
β-a=√m²-4m+8
=√(m-2)+4
よって, β-αはm=2
のとき
最小値 √4=2
と考えてもよい。
261点A(0, 1) を通り,傾きの直線を1とする。 直線と放物線 C:y= x2 で
囲まれる部分の面積Sが最小となるような定数の値, およびそのときの面
積Sの最小値を求めよ。
(城西大改)
p.469 問題261
