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第7章 数列
問
125 2 項間の漸化式 (IV)
a1=0, an+1=2an+(-1)+1 (n≧1) で定義される数列{az} が
ある.
an
(1)bn=mm とおくとき,bn+1 を bm で表せ.
(2)6m を求めよ.
(3) an=2"bn
=1/2"-2" { ""}}=1/12"-2(-1)*-1}
参考
-(2-1-(-1)-1)
(IIの考え方で)
①の両辺を (−1)" +1 でわると,
an+1
(-1)+1
2an
6
(3)an を求めよ.
しる
(-1)+1+1
an+1
an
..
(-1)+1=
・=-2・
・+1 ......③
(-1)"
精講
an+1=pan+gn+1 (p = 1, g≠1) 型の漸化式の解き方には,次の2
通りがあります。
ここで,-1)=b,
= bm とおくと, (1) 月+1
an+1
=b+1 だから
③よりbn+1=-26+1
.. bn+1- 3
I. Bats-1/2=-2(0-1)
I. 両辺を "+1でわり, 階差数列にもちこむ (124ポイント)
Ⅱ. 両辺をgn+1 でわり+1 = rb„+s 型にもちこむ
この問題ではIを要求していますから,
ます。
==
11/3 だから、
にIIによる解法を示しておき
bn-
(-2)"-
. bx-(1-(-2)-1)
191
①に, a=2"bn,
an+1=2+1bn+1 を
6/13--1/1-20-1
an=(-1)"bm=1/2(2"-1-(−1)"-1}
3
注 この問題に限っては, 両辺に (-1)+1 をかけて (-1)"αn=bn と
おいても解けます。
解 答
an+1=2an+(-1)+1 ...... ①
(1) ①の両辺を2+1 でわると,
\n+1
an+1 an
......②
2"
21-2+(-)-2
an =bm とおくとき, n=bm+1 と表せるので
2"
[n+1
*) b=b+(-)
(2) n≧2 のとき,
bm=b1+
+(-/-)
k+1
代入してもよい
121 階差数列
ポイント
漸化式は,おきかえによって, 次の3つのいずれかの
118
n-1
初項 1. 公比 - 12/27
演習問題 1252
=0+
項数n-1の
6
1+
等比数列の和
E (1)
これは, n=1のときも含む.
吟味を忘れずに
型にもちこめれば一般項が求まる
I. 等差 Ⅱ.等比 III. 階差
a1=3, an+1=3an+2" n≧1) で定義される数列 {an がある.
an
=bm とおくとき, bn+1と6の間に成りたつ関係式を求め
よ.
(2) bnで表せ.
(3) α をnで表せ.
