例題
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等差数列の共通項
an=3n-2, bn=4n+1 (n=1, 2,3,......) で表される2つの等差
数列{an}, {bn} に共通に含まれる項を,順に並べてできる数列を
{cn} とする。 数列 {cn}の一般項を求めよ。
考え方{cm} は, 数列 {an} の公差と数列{bn} の公差の最小公倍数を公差とする等差数列と
なる。初項は,数列{an}, {bn} の項を書き出して求める。
また、数列{an}の第1項と数列{bn}の第m項が等しいとして, l, m の関係を求め
ていく方法もある。 (別解参照)
巻数列{an},{bn} の項を書き出すと
{an}: 1,4,7,10, 13, 16, 19,22, 25,28,31,34,37,
{6}:5,9,13, 17,21, 25,29, 33, 37, ······
......
数列{an}, {bn} に共通に含まれる項を書き出すと
{cm}:13,25,37,
よって, 数列{cm}の初項は 13
また, {an}は公差3の等差数列, {6} は公差4の等差数列であるから, {cm} は公差
12の等差数列である。
したがって, 数列 {C}の一般項は cn=13+(n-1)・12=12n+1
別解 数列{an}の第1項と,数列{bn}の第m項が等しいとすると 3l-2=4m+1
よって
3(-1)=4m
3と4は1以外に正の公約数をもたないから, l-1は4の倍数である。
よって, l-1=4k (k=1,2,3,......) とおける。
すなわち
l=4k+1
したがって, 数列{an} と数列{bn} に共通に含まれる項は,数列{an}の第 (4k+1)
項 (k=1,2,3, ......) で
Ch=a4k+1=3(4k+1)-2=12k+1
よって, 数列 {cn}の一般項は
Cn=12n+1
第3章
数列
