黄チャートの数Iの例題45で、なんとなく意味は理解できた感じがするんですけど、同じことを自力で書こうとするには無理で、それってまだ自分が完璧には理解できていないとおもうので、背理法のコツとか、背理法をマスターする方法とか、この問題の解説的なものを教えて頂きたいです🙇‍♀️

基本 例題 45 √3 が無理数であることの証明 00000 命題 「n は整数とする。 n2 が3の倍数ならば, nは3の倍数である」 は真で ある。これを利用して、√3が無理数であることを証明せよ。 基本 44 CHART & SOLUTION 証明の問題 直接がだめなら間接で 背理法 √3 が無理数でない (有理数である) と仮定する。 このとき,√3=r(rは有理数)と仮 定して矛盾を導こうとすると,「√3=rの両辺を2乗して, 3=2」 となり,ここで先に進 めなくなってしまう。そこで,自然数 a, b を用いて√3 = (既約分数)と表されると仮 定して矛盾を導く。 解答 a √3 が無理数でないと仮定する。 このとき 3 はある有理数に等しいから, 1 以外に正の公約 数をもたない2つの自然数a, b を用いて、3= とされる。 ゆえに 両辺を2乗すると a=√36 a2=362 よって、2は3の倍数である。 050+ α2が3の倍数ならば, aも3の倍数であるから, kを自然数 として a=3k と表される。 これを①に代入すると 9k2=362 すなわち 62=3k2 よって、62は3の倍数であるから, 6も3の倍数である。 ゆえに αとは公約数3をもつ。 これはaとbが1以外に正の公約数をもたないことに矛盾す る。 ← 既約分数: できる限り 約分して, αともに1以 外の公約数がない分数。 inf. 2つの整数 α 6 の最 大公約数が1であるとき, αとは互いに素である という(数学A参照)。 ←下線部分の命題は問題 文で与えられた真の命 題である。 なお、下線部 分の命題が真であるこ との証明には対偶を利 使用する。 したがって√3 は無理数である。 INFORMATION ■に伝わります。 Eb.d 例題で真であるとした命題 「n2が3の倍数ならば, nは3の倍数である」 の逆も真で ある。 また, 命題 「n2 が偶数 奇数) ならば, nは偶数 (奇数) である」 および, この逆 も真である。 これらの命題が真であること, および逆も真であるという事実はよく使 われるので,覚えておこう。 PRACTICE 45Ⓡ 3 つまず 命題「n は整数とする。 n2 が7の倍数ならば, nは7の倍数である」 は真である。こ れを利用して√7 が無理数であることを証明せよ。 2 C 集

フランス語です。 voici(ここに〜があります、ほらこれが〜です)や voila(あそこに〜があります、ほらあれが〜です) と、 il y a(〜があります) の違いはなんですか？ 意味がほぼ同じなのに、なぜ語が違うのかがわかりません。 よろしくお願いします。

数Iの黄チャートの例題26の（2）なんですけど、①に代入しての後に書いてある、4√3/20のところで、なぜ4√3になるのかがわかりません。教えてください🙇‍♀️

基本 例題 26 平方根と式の値 ( 2 ) √7-√3+√3 00000 (1) x=- y= 2 2 のとき,x+yの値を求めよ。 (2)x+y+z=0, xy+yz+zx=-10, xyz=4√3 のとき, x y え + + 1章 yz ZX xy 基本25 3 の値を求めよ。 CHART & SOLUTION 対称式は基本対称式で表す x,y (2文字) の基本対称式 x,y,z (3文字)の基本対称式 ...... x+y,xy x+y+z, xy+yz+zx, xyz (1)x+y=(x+y) -3xy (x+y) を利用 (p.48 POINT 参照)。 (2)x2+y+z2=(x+y+z)-2(xy+yz+zx) を利用 (p.20 POINT 参照)。 解答 2√7 2 (1)x+y=- =√7,xy=- (√7)2-(√3)2_7-3 -=1 +xy 4 4 √7-37+√3 よって 2 2 x+y=(x+y)-3xy(x+y) =(√7)-3・1・√7=7√7-3√7 =4√7 別解x+y=(x+y)(x²-xy+y2) =(x+y){(x+y)2-3xy} =√7{(√7)2-3・1} =√7)-(√3) 22 3次式の因数分解。 p.24 基本事項 4 =4√7 (2) x y Z x2+y2+22 + + xyz ここで yz ZX xy ① 2 yz ZX xy x2 22 + + x2+y2+22=(x+y+z)2-2(xy+y+zx) =02-2・(-10)=20 xyz zxy xyz x y ①に代入して 5 2 20 20 + + yz ZX xy 4√3 = 5√√3 3 5.√3 4√3 √3√3 PRACTICE 26Ⓡ 3 (1) x=- √2+1 √2-1' y= 2-1 のとき,x+yの値を求めよ。 √2+1 (2)a=√3+√2 のとき, α+ a a³+ の値をそれぞれ求めよ。 (3)x+y+z=xy+yz+zx=2√2+1, xyz=1 のとき, x y + + yz ZX 実数 この値を求めよ。 xy

例題43の（2）の問題で、｜a+b｜≦1,｜a-b｜≦3から　（a+b）²+（a-b）²≦1²,（a-b）²≦3²のところで、なぜ二乗をしなければいけないのかわかりません。教えてください🙇‍♀️

基本 例題 43 対偶を利用した命題の証明 文字はすべて実数とする。 対偶を考えて,次の命題を証明せよ。 (1)x+y=2 ならば「x≦1 または y≦1」 (2)'+b2≧6 ならば「a+6|>1 または |a-b|>3」 CHART & SOLUTION 対偶の利用 nom 命題の真偽とその対偶の真偽は一致することを利用 00000 p.76 基本事項 6 (1)x+y=2 を満たすx, y の組 (x, y) は無数にあるから,直接証明することは困難であ る。そこで,対偶が真であることを証明し,もとの命題も真である,と証明する。 条件 「x≦1 または y≦1」 の否定は 「x>1 かつy>1」 (2)対偶が真であることの証明には,次のことを利用するとよい。 解答 A≧0, B≧0 のとき A≦B ならば A'≦B2 (p.118 INFORMATION 参照。) (1) 与えられた命題の対偶は 「x>1 かつ y>1」 ならば x+y=2 これを証明する。 x>1, y>1 から x+y>1+1 すなわち x+y>2 よって, x+y=2 であるから, 対偶は真である。 したがって,もとの命題も真である。 (2)与えられた命題の対偶は 「la +6≦1 かつ a-b≦3」 ならば2+62<6 ←pg の対偶は q⇒ p ←x>ay> b ならば x+y>a+b (p.54 不等式の性質) 2章 6 これを証明する。 |a+6|≦1, |a-b≦3から (a+b)2≦12, (a-b)2≦32 ←|A|=A2 よって (a+b)2+(a-b)≦1+9 ゆえに 2a2+62)≦10 よって a2+62≦5 ゆえに、対偶は真である。 したがって,もとの命題も真である。 a+b25と5<6 から a2+62-6 POINT 条件の否定条件, gの否定を,それぞれ,g で表す。 かかつ または または かつ PNQ=PUQ PUQ=PnQ 論理と集合

黄チャートの数Aの例題33（3）なんですけど、なぜ左右対称になるものをもとめる必要があるのですか？

重要 例題 33 同じものを含む円順列・じゅず順列 00000 ガラスでできた玉で, 赤色のものが6個, 黒色のものが2個,透明なものが1 個ある。玉には,中心を通って穴が開いているとする。 (1) これらを1列に並べる方法は何通りあるか。 (2)これらを円形に並べる方法は何通りあるか。 (3)これらの玉に糸を通して首輪を作る方法は何通りあるか。 CHART & THINKING 基本18 重要 22 (2)円形に並べるときは,1つのものを固定の考え方が有効。 固定した玉以外の並び方を 考えるとき,どの玉を固定するのがよいだろうか? (3) 「首輪を作る」 とあるから,直ちに じゅず順列=円順列÷2 でよいだろうか? すべて異なるもの なら, じゅず順列で解決するが,ここで は、 同じものを含むからうまくいかない。 その理由を右の図をもとに考えてみよう。 000 左右対称 裏返すと同じ人 01 解答 (1) 1列に並べる方法は 9! 6!2! 9・8・7 2.1 =252 (通り) 同じものを含む順列。 (2) 透明な玉1個を固定して, 残り8個を並べると考えて 8! 8.7 -=28(通り) 6!2! 2.1 (3)(2) 28通りのうち, 図 [1] のように 左右対称になるものは 4通り よって、 図 [2] のように左右対称でない [1] 円順列は 28-424 (通り) [2] この24通りの1つ1つに対して, 裏 返すと一致するものが他に必ず1つ ずつあるから,首輪の作り方は 24 2 4+- =16(通り) PRACTICE 33° AL 307 1章 ◆赤玉6個、黒玉2個を1 列に並べる場合の数。 inf (2) について 解答編 p.213 にすべてのパターン の図を掲載した。 左右対称 でないものは、裏返すと一 致するものがペアで現れる ことを確認できるので参照 してほしい。 BACURE 13A8 A8 3 組合せ 7 通り,円形に並べる方法は 輪を作る方法はウ通りある。 白玉が4個、黒玉が3個, 赤玉が1個あるとする。 これらを1列に並べる方法は 通りある。更 更に,これらの玉にひもを通し, [近畿大]

黄チャートの数AのCHECK5の（ 1）（エ）のnC₂なんですけど、答えがn（n-1）/2とカッコでくくられていて、これってカッコはずしてたらダメなんですか？

チャート数Aの例題1の（ 1）なんですけど、A=｛1,3,5,6,7｝なのに、n（A）=5になるのですか？個数って聞かれてないのになぜ5になるのかわかりません。

基本例題 1 集合の要素の個数の計算 0000 (1) 全体集合を U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} とする。 Uの部分集合| A={1, 3, 5, 6, 7}, B ={2,3,6,7} について, n(A), n(B), (AUB), n (A) を求めよ。 (2)集合A,Bが全体集合 Uの部分集合でn(U)=50, n(A)=30, n(B)=15, n(A∩B)=10 であるとき,次の集合の要素の個数を求めよ。 (イ) A∩B (ア) A (ウ) AUB (C) (エ) ANB p.264 基本事項 1 265 1章 1 CHART & SOLUTION 集合の要素の個数の問題 図をかいて 1 順に求める ② 方程式を作る 集合の要素の個数, 場合の数 (2)①の方針により, 求めやすいものから順に,個数定理を用いて集合の要素の個数を求め る。 (ア)n(A)=n(U) -n (A) を利用する。 (ウ)n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A∩B) を利用する。 ②は基本例題 3を参照。 解答 (1)n(A)=5,n(B)=4 AUB ={1, 2, 3, 5, 6, 7} である から n(AUB)=6 A={2, 4} であるから (2) (ア)n(A)=n(U)-n(A) =50-30=20 (個) 1 <36 金 左の図のような, 集合の B 関係を表す図をベン図 という。 2 7 n(A)=2 4 -U(50) A(30) B(15) ANB (10) (イ)n(A∩B)=n(U)-n(A∩B) 850-10=40 (個) (ウ)(AUB)=n(A)+n(B) -n (A∩B) =30+15-10=35 (個) (エ) n (A∩B)=n (AUB) =n(U) -n (AUB) 50-35=15(個) ← 補集合の要素の個数。 ←個数定理を利用。 ◆ド・モルガンの法則 A∩B=AUB (ウ)の結果を利用。

3｜x-3｜+｜x｜<7の場合分けを教えてほしいです🙇‍♀️

分母を有理化して簡単にする問題なんですけど、（5）のところで、最後に2（3+√3）/3になってるんですけど、必ず2でくくらないとダメですか？

(5) = √3-√2 √3+√2 ++ 2√3+√6 2√3-√6 (√3-√2) (2√3-√6)+(√3+√2)(2√3+√6) (2√3+√6) (2√3-√6) (6-3√2-2√6 +2√3)+(6+3√2+2√6 +2√3 (2√3) 2-(√6) 2 4(3+√3)2(3+√3) 6 xx-x 通分すると同時に分母 が有理化される。 e(s)

例題36の（2）の問題なんですけど、［2］のところで、よってx≦2になったのに、なぜ共通範囲は、-1≦x <2と、<になるのですか？

64 基本 例題 36 絶対値を含む不等式 (場合分け) 00000 次の不等式を解け。 (1) |2x-4|<x+1 | (2) |-2|+2|x+1|≦6 基本35 CHART & SOLUTION 絶対値は 場合分け 基本例題 35 と同様, 場合分けで絶対値記号をはずして解く。 絶対値記号内の式が 0 となるxの値が場合の分かれ目。 (2)2つの絶対値記号内の式が0となるxの値は 2,-1 よって, x<-1,-1≦x<2, 2≦xの3つの場合に分けて 解く。 解答 (1) [1] 2x-4≧0 すなわち x≧2 のとき,不等式は よって x<5 2x-4<x+1 x≧2との共通範囲は 2≦x<5... ① [2] 2x40 すなわち x < 2 のとき,不等式は =(2x-4)<x+1 すなわち -2x+4<x+1 よって x>1 たは x<2との共通範囲は 1 <x<2···･･･ 不等式の解は ①と② を合わせた範囲で 1 <x<5 ② (2)[1] x1 のとき,不等式は -(x-2)-2(x+1)≦6 よって -3x≤6 ゆえに (2) x-2<0 x2≧0 +10+10 [1] 2 x ① 2 5x [2] ② 1 2 x [1] 1 -2-1 x<-1との共通範囲は -2≦x<-1...... ①[2] [2] -1≦x<2 のとき, 不等式は -(x-2)+2(x+1)≦6 よって x≤2 5 ② -1 2 (s) [3] ② -1≦x<2 との共通範囲は-1≦x<2 [3] 2≦x のとき, 不等式は よって 3x ≤6 2≦x との共通範囲は x=2 ...... x-2+2(x+1)≦6 ゆえに 2 x ③ -2≤x≤2 1-2 (1) 2 x 不等式の解は ①~③を合わせた範囲で PRACTICE 36 3 次の不等式を解け。 (1)|3x-4|<2x (2)3|x+1|≧x+5 2 9 [(1) 千葉工大] (3)3|x-3|+|x|<7 (1)