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基本例 20 一般項を求めて和の公式利用
次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
(1)
1,32,52,
指針
次の手順で求める。
① まず一般項を求める→第k項をnの式で表す。
(第k項)を計算。Zk,Z,Zの公式や、場合によっては等比数列の和の
注意で,一般項を第n項としないで第k項としたのは, 文字が項数を表して
2
公式を利用。
いるからである。
(2) an=1+2+2+...... +2k-1
←等比数列の和
等比数列の和の公式を利用して ak をk で表す。
CHART この計算 まず一般項 (第k項) をんの式で表す
与えられた数列の第k項をα とし, 求める和を Sn とする。|
解答 (1) ak= (2k-1) ²
よってSn=ax=(2k-1)=②(4k²-4k+1)
k=1
k=1
n
=42k-4_k+21
k=1
(2) 1,1+2,1+2+22,
|| k=1
=4･
4• — n(n+1)(2n+1) −4• _—_n(n+1)+n
2'
=1/gn{2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3}
=1/13n(4n²-1)=1/13n(2n+1)(2n-1)
(2) ak=1+2+2²+...+2k-1_1∙(2²−1)
-=2²-1
2-1
よってSn=ax=-(2'-1)=22"-21
k=1
k=1
k=1
2(2-1)
2-1
--n=2"+l-n-2
練習次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
② 20 (1) 12, 42, 72, 102,
4'2
(3)
11/1/12/11/21/11/11/28/1/11/1/8/1/16
+
4 8'
(*)
4
00000
注意和が求められたら,n=1,2,3として検算するように心掛けるとよい。
例えば,(1) では, (*)において,n=1とすると1で,これは12に等しくOK。
(*)において n=2とすると10で, 12+32=10 から OK。
基本 1, 19 重要 32
第k項で一般項を考え
る。
◆1/3でくくりの中
に分数が出てこないよう
にする。
(2) 1, 1+4, 1+4+7,
ak は初項1,公比2, 項
数kの等比数列の和。
|参考 Sn=
= 2
表すこともできる。
k=1\i=1
p.459 EX12, 13
基本
21 第
例題
次の数列の和を求めよ
1.(n+1), 2
指針
解答
方針は基本例題
第n項がn2 で
各項の・の左側
・の左側の
・の右側の
初項 r
これらを掛け
また, ak o
k=1
この数列の第
k{(n-
したがって,エ
S = 2
別解
求める
S=1+(1+2
+(1+2
=(1+2
k=1
=1/22k
1-21-21-21-2
WW
- 12/200
=1/12/20
-/12/11/1
1/6 16
-1/2-1/10
練習 次の数列・
③ 21
