この例題において、増減表を書く時赤丸で囲ってあるところがなぜそのように書けるのかが分かりません。どうやってそう判断してるのですか？教えて欲しいです🙏

。 6章 37 3 最大値・最小値、 方程式・不等式 基本 例題217 最大値・最小値から3次関数の決定 00000 <a<3とする。 関数f(x)=2x-3ax2+b (0≦x≦) の最大値が10. 最小値が 18のとき, 定数a, bの値を求めよ。 指針 ① 区間における増減表をかいて, f(x) の値の変化を調べる。 解答 基本211 11の増減表から最小値はわかるが,最大値は候補が2つ出てくる。よって、その最大 値の候補の大小を比較しαの値で場合分けをして最大値をα 6で表す。 f(x)=6x2-6ax=6x(x-a) f(x) = 0 とすると x=0,a 0<a<3であるから, 0≦x≦3におけるf(x)の増減表は次の ようになる。 Xx 0 f'(x) f(x) 00 3 335 値を求めよ 基本 数になる。 主意。 含むときの注意点。 の3次関数になる。 る。 1=21 極小 b-a b-27a+54 よって, 最小値はf(α) = b-αであり b-α=-18 y f(0) f (3) を比較すると 最大値はf(0)=b または f(3)=6-27a+54 ①最大・最小 また, ① < (最小値) =-18 極値と端の値をチェック (3)-f(0)=-27a+54=-27(a-2) ①大小比較は差を作る ゆえに 0<a<2 のとき (0) (3) 0 2≦a<3のとき(3)(0) 2 [1]0<a<2のとき,最大値は よって f(3)=6-27a+54 b-27a+54=10 すなわち 6=27a-44 (最大値) = 10 最小 これを①に代入して整理すると a-27a+26=0 条件。 ゆえに (a-1)(a²+a-26)=0 2>0 1 10-27 26 1 1-26 _M=logaM* 1±105 +10gaN=loga. よって a=1, 11-26 0 2 0<a< 2 を満たすものは a=1 場合分けの条件を満たすか どうかを確認。 このとき ①から b=-17 [ [2] 2≦a<3のとき,最大値は f(0)=b 最大 よって b=10 これを①に代入して整理すると Xの値を求 を求めよ a3=28 2833 であるから, a=28>3となり、不適。 [1],[2] から 練習 a=1, 6=-17 (最大値) = 10 場合分けの条件を満たすか どうかを確認。 a,bは定数とし, 0<a<1とする。 関数 f(x)=x+3ax2+b (−2≦x≦1) の最大 217 値が 1, 最小値が-5となるような α, bの値を求めよ。 [類 大阪市大〕 (p.344 EX140

(2)の計算の仕方が分かりません😭 教えて下さい🙇🏻‍♀️

計算が面倒な時 2/12 基本 236 不定積分の計算(2)(ax+b)^型 17/15 次の不定積分を求めよ。 12/16 S(3x+2)dx S(3x+ (2) f(x+2)(x-1)dx 基本 235 指針 それぞれ,展開してから不定積分を求めることもできるが,計算が面倒。 (1) p.321 の公式② から {(ax+b)"+1}'=(n+1)(ax+b)"α よって, α≠0のとき n+1 (ax+b)+1|= (ax+b)" したがって Sax+b)"dx = 1. (ax+b)"+1 +C を忘れずに! a n+1 a 特に S(x+p)"dx = (x+p)"+1 +C (ともにCは積分定数) n+1 これらを公式として用いる。 解答 (2)(x+2)(x-1)=(x+2)^{(x+2)-3}=(x+2)-3(x+2)^ と変形すると,上の公式が使えるようになる。 Cは積分定数とする。 (1) S(3x+2)*dx=-(3x+2)。 (2) +C= (3x+2)5 3 5 +C 15 f(x+2)(x-1)dx=f(x+2)(x+2)-3)dx なんで変形 =f{(x+2)-3(x+2)}}dxしなきゃいけない (x+2)4 =1 4 3.(x+2)+ +C これで 3 (x+2) 4 (x+2)-4}+C 形。 を忘れないように! -αの形に変 ◄S(x+p)"dx =(x+p)"+1 +C n+1 1/(x+2) でくくる。 (x+2)(x-2)+C 4 →どこまで計算したらいいの? 注意 微分の計算については, 「積の導関数の公式」 (p.321 公式 ①) があるが, (2) のような積の形 を積分する公式はない。 間違っても (x+3)(x-1)dx=(x+3)(x-1)^ 2 +Cなどとしないように! 3 (2)の結果が正しいことは,次の検算で確かめられる。 {(x+2)(x-2)}={(x+2)}(x-2)+(x+2)(x-2)' C =3(x+2)(x-2)+(x+2)・1 {f(x)g(x)} =(x+2)^{3(x-2)+(x+2)}=4(x+2)(x-1) (x+2)(x-2)+ c =(x+2) (x-1) 4 =f(x)g(x)+f(x)g^(x) 練習 次の不定積分を求め ③ 236 (I)

この例題の問題において、なぜαが2<α<3と断定できるか分かりません。教えて欲しいです🙏

332 重要 例題 214 区間に文字を含む3次関数の最大・最小 0000 f(x)=x-6x2+9x とする。 区間 a≦x≦a+1 における f(x) の最大値 M(a)を めよ。 創立 指針 まず,y=f(x)のグラフをかく。次に,幅1の区間α≦x≦a+1 しながら、f(x) の最大値を考える。 基本213 をx軸上で左側から移 なお、区間内でグラフが 右上がりならM(α)=f(a+1), 右下がりならM(a)=f(a) また,区間内に極大値を与える点を含めば,M(a) = (極大値) となる。 また期的に小を与える点を含むときは、バーバ(+1)となるとのあり CHART 区間における最大・最小 極値と端の値をチェック 解答 基本例 0≤x<27 のときの 指針ます を利 Cos よな f'(x)=3x2-12x+9 xC 1 3 ... [1] 区間の右端で最大 =3(x-1)(x-3) f'(x) + 0 20 + |極大 極小| CHAI 解答 y f'(x) =0 とすると x=1,3 f(x)> 4 0 -最大 増減表から,y=f(x) のグラフは 図のようになる。 YA y=f(x)| [ [1] a+1 <1 すなわち α0のとき 4 3 M(a)=f(a+1) [2] [3] =(a+1)-6(a+1)+9(a+1) [4] YA a O 1 Na+1 [2] (極大値) = (最大値) COS x = Dyをt =α-3a2+4 1 最大 4F [2] a<1≦a +1 すなわち a01 a 3a+1 x 0≦a <1のとき y=0 a+1 M(a)=f(1)=4 -1 Oa1 3 I 次に, 2<α<3のとき f(a)=f(a+1) とすると a+1 表は a3-6a2+9a-a³-3a²+4 ゆえに 32-9α+4=0 [3] 区間の左端で最大 よっ YA -(-9)±√(-9)-4・3・4 9±√33 4F よって d= = 2.3 6 9+√33 2 <α <3 であるから, 5<√33<6に注意してα= t= 60 a+1 [3] 1≦a< 9+√33 のとき M(a)=f(a)=α-6a²+9a O 1 a 3 a a+1 t= ![4] 9+√33 [4] 区間の右端で最大 ≦αのとき 6 M(a)=f(a+1)=α-3a²+4 YA 以上から a< 0, 9+√33 4-71 6 ≦a のとき M(a)=a-3a²+4; 0≦a<1のとき M (α)=4; 9+√33 1≦a< 6 のとき M(a)=α-6a2+9a 補羽 f(x)=r3-3r²-9rとする 反くりには a Lati 1 13 a à+1 f(m) の最小値m(t) を求

(1)の(iii)が解説読んでも分かりません。 どういう解法でとけばいいのでしょうか？

2021年数学 上智大学 問題 (1) 実数全体で定義され、 実数の値をとる関数f(x) に対する次の条件を考える。 p: 「K以上のすべての実数ェに対してf(z) ≧1」が成り立つような実数 K が存在する (i) 次に挙げた関数 (a) (d) のそれぞれについて, pを満たすならば。を, pを満たさないならばx をマークせよ. (a)f(x)= = (木) = x + sin x ⑥f(x)= 22+1 = 2+1 (d)f(x)=zsin (i)の条件が♪の否定になるようだ。あえ のそれぞれの選択肢から、 あてはまるもの を選べ。 「あ い 実数に対して[う]」が[え] い あ の選択肢: (2) K以上の (b) K 未満の 選択肢: (a) すべての 「ある う の選択肢: (a) f(x) ≧ 1 (b) f(z) <1 え の選択肢: (a) どんな実数 Kについても成り立つ (b) 成り立つような実数Kが存在する (iii) 関数f(z) に対して,g(x)=2f(x) 関数g(x) を定める. 次に挙げた命題 (A) (D) のそれぞれ について, 正しければ。を, 正しくなければx を マークせよ. (A) f(x) がp を満たすならば, g(x) もpを満たす. (B)g(x)がpを満たすならば, f(x) もp を満たす。 (C) f(x) がp を満たさないならば, g(x) もpを満たさない. (D) f(x) がp を満たさないならば g(r) はp を満たす. 0xxx (2)(i) 不等式 k-1 <log107< k k+1 を満たす自然数kは ス である. (ii) 735 は セ |桁の整数である.

3行目からよくわからなくて場合に分けるのはわかったんですけど😭3行目の範囲？もなんか一二行目の範囲？と三行目の範囲なんか合わなくてわかんないです😭

標 例題 準 207 絶対値を含む関数の定積分 定積分 Sx-4/dx を求めよ。 CHART GUIDE 2 p.337 定積分の性質3を, 右辺から左辺にみる。 絶対値場合に分ける |4|={_A (4≧0) ■ 絶対値記号の中の式x-4 の符号に応じて、 場合分けを行う。 積分区間の連結の逆は、 積分区間の分割になる。 積分区間(1≦x≦3)内での,正・負の境目 x=2で分割する。 Sf(x)dx=S,f(x)dx+S2f(x)dx CHAR & Gu -A (A≤0) 発 発展 例 展 20 等式 解答 オセロ 定積分のつく (x≦-2,2≦x) 定積分の計算では を両方に付ける。 x2-4 |-4|={(-4) (−2≦x≦2) 1≦x≦2 のとき ゆえに 2≦x≦3のとき 2 x-4|=(x²-4) |x-4|=x24 よってS|x|dx=S"|x|dx+S|ペーム =S,{(x-4)}dx+S (x-4)dx 1 3 解答 x1 S ・1 + 【 -4x 3 ■F(x)=-4xと よ 23 33 と定積分の計算は =-2 --4・2+ -4・3 - {F(2)-F(1)} 3 --2(1-8)+(1-4)+(9-12)-4 Lecture 定積分と面積 「関数 y=|x2-4| のグラフと x 軸,および2直線 x=1, x=3 で囲ま れた部分の面積Sを求めよ」 という問題を考えると,求める面積は右の 図の赤い部分の面積である。 よって,S=S|x2-4|dxとなり,上の例題の定積分と同じである。 TRAINING 207 ③ 次の定積分を求めよ。 +{F(3)-F(2) =-2F(2)+F(1)+ f( る -2 0 と T と

f(x)=a(x-2)^2-2a+4の式です x軸と交わるかどうかって判別式Dを使いますよね、？ 判別式を使ったらf(x)>=0ではないから②は違うと思ったのですがどうやって②は正しいと判断できますか

(3)図1の画面上の の下にある・を動かして,グラフを作成した。 y=f(x)のグラフとして表示されなかったものは である。 セ については,最も適当なものを、次の①~④のうちから一つ選べ。 ① ② ③ A x x XC ④ 0 x x x

(3)分からないです。 S＝1/2√9x2乗−3x3乗って何処から出てくるんですか？ (2)までは√ま9−3xだったじゃないですか😭 分からないので教えてください

== 2周の長さが 6cm で, AB AC である二等辺三角形ABC をつくり ます。頂点 A から底辺 BC に垂線をひき、BCとの交点を甘とします。 BC = xem とし, △ABCの面積をScm² とするとき,次の問いに答え なさい。 正答率 38.2% (1) AH をx を用いて表しなさい。 (2)△ABCの面積Sを x を用いて表しなさい。 【解き方】 面積Sの最大値を求めなさい。 (cm) だから, △ABHで三平方の定理より 6-x (1) AB= 2 AH= 6-x 2 2 2 2C =√9-3.x(cm) (2)△ABCの面積SはS= BC AHだから, = 1/2BC・AHだから、 √9-3x cm 解答 S=1/2xv9-3xc √9-3x cm² 2 解答 (3) S21292-32より3が最大のとき、面積は最大となる。 xのとり得る範囲は, x>0 かつ 9x2-3x=3x²(3-x)>0より, 0<x<3 f(x) =9x2-3x3 とおくと, f'(x) =18x-9x2= -9x (x-2) 0<x<3で, f(x) の増減表は右の ようになり, f (2) 12 s=√√√ (2)=√3 IC 0 2 *** 3 f'(x) 0 + 0 - f(xc) 極大 極小 Sはx=2のとき,最大値3cm"をとる。 解答

なぜこの問題で与式を解答のように変形すると上手くいくのですか？

例 次の不等式を証明せよ。 COS X se-12 (0 ≤ x ≤ 17/17) JT 2 《解答》 証明すべき式は f'(x) = xe cos x - e excosx</ cosx≦1 と同値である。そこで左辺を f(x) とおくと, 0<x<1/0 = xe x2 のとき esin x = e cos x(x — tan x) < 0 0<x<匹 2 x < のとき x <tanx)

(2)の問題についてなのですが、微分可能かの問題で微分係数の定義を用いた場合は連続性は別に調べる必要はなかったのに、今回の場合では連続性もちゃんと言わないといけないのはなぜですか？教えてくださいm(_ _)m

つぎはぎ関数の定積分と微分可能性 Jt 図関数g(t)をg(t)={0 12 関数 g(t) を g(t) = (t≥0) と定義する. 10 (t< 0) 実数xに対し,f(x)=29(1-12)g(-x) dt とおく。 (1) f(x) を求めよ. -2 (2) f(x) はすべてのxで微分可能であることを示せ. 〔埼玉大〕

（2） x＝3/2を重解にもつと判断できるのはなぜですか？

184 実践問題 038 接線 (土) f(x)=3 であるから,y= (P-4t)にお y=(3t- y=(3+2. これが点 (1, 3次関数y=f(x)=x4zに対して、 次の問いに答えよ。 (1) (1,4) から曲線y=f(x)に引いた接線のうち, 傾きが正の値となる よるものの方程式を求めよ。 (早稲田大) (2)(1)で求めた接線と曲線y=f(x)との共有点のうち、接点以外の点の座標を求めよ。 [GOAL =HOW WHY ] ひらめき (1)f(1)=-3より, 点 (1,4) はy=f(x) 上の点ではありません。 通る点が (1, -4) とわかっているので接線の方程式は,傾きをとおくと, y-(-4)=m(x-1) と表せますね。 YA y=f(x) 2 2 (2t- この接線がy=f(x) に接する条件から, m の値を求めることもできます。 もし、f(x) が2次関数であれば、 接する条件は、連立した方程式の (判別式) =0になる! しかし, f(x) が3次関数の場合は、接する条件が少々難しくなりますし、 (t,f(t)) f(x)がェの多項式でなくなった場合は,この方法ではできません。 接線がからむ問題は,基本的に 接点をおくことから始める ことをおすすめします! より, t y (2) y=f( GOAL HOW ? WHY 点 (1-4) から曲線 y=f(x) に引いた接 線のうち, 傾きが正 の接線の方程式が求 まる 点 (t, f(t)) におけ る接線 × y-f(t)=f(t)(x-t) tの値が求まれば, 求める接線がわかるか ら が点 (1-4) を通る ときのtの値を求め る より 点 (1,4)を通るときは, 「x = 1, y=-4 を代入して 「=」が成り立つ」ときですね! (2)(1) で求めた接線の方程式をy=g(x) とすると,y=g(x) とy=f(x) の共有点の座標は,y=g(x) と y=f(x) を連立してy を消去した方程式f(x)=g(x) を解くことで,求めることができます。 共有点の 座標が求まったら, (1) で求めた接点以外が求める座標となります。 参考 GOAL HOW ? WHY 接線の方程式と y=f(x) との共有点 のうち、接点以外の 点の座標が求まる y=f(x) (1) で求め × 連立方程式の解が、共有点の座標だから た接線を連立する で