どうして囲んであるところがそうなるのか教えてください(語彙力皆無ですいません) あと(1)(2)ともにどうしてa’b’(互いに素な自然数)とおくのか教えてください よろしくお願いします。

M 問題 261 最大公約数 最小公倍数からの2数の決定 思考プロセス 次の条件を満たすような2つの自然数の組をすべて求めよ。 (1) 和が 117, 最大公約数が 13 (2) 積が 864, 最小公倍数が 144 候補を絞り込む 2数a,b の値を,和,積, 最大公約数 (g), 最小公倍数 (1) の条件から求める。) 共 ① a=dg, b=b'ga' と'は互いに素な自然数)... (*)とおき 条件式, a'b'g= l, ab = gl から, d' と'の関係式をつくる。 ② d′,6′ が互いに素な自然数であることから,d', '′ の組を絞り込む。因 Action>> a, ★★☆☆ の最大公約数が gならば、a=dg, b=b'g(d′と 6′ は互いに素)とおけ 解 (1) 2つの自然数をa, b (a ≦b) とおく。 aとbの最大公約数が13であるから a=13α′, b=136' (d' と'は互いに素な自然数) a+b = 117 α' + 6′ = 9 ① とおける｡ このとき, a≦b より d'b' また,2数の和が117 であるから よって 13α′+136′= 117 より ① を満たす互いに素な自然数の組(d'′,6′) は (1, 8), (2, 7), (4, 5) 3と6は互いに素ではな よって、求める2つの自然数の組(a,b) はいから, d' と'の組では ない。 (13,104), (26,91),(52,65) (2)2つの自然数をa, b (a ≦b), 最大公約数をg とおく。 2数の積が864 であるから ab = 864 1 最小公倍数が 144 であるから 144g = ab ① ② より, 144g864 であるから g = 6 よって, a=6a', b = 66′(d' と'は互いに素な自然数) a ≤ b' とおける。このとき, α≦b より ①より, 6α' × 66′ = 864 であるから d'b' = 24 ... ③ ③ を満たす互いに素な自然数の組 (d'′,6′) は (1, 24), (3, 8) 24 よって 求める2つの自然数の組(α, b) は (6,144), (18,48) ... a = b ならば aとbの最 大公約数はαであるから, a=b=13 となり,和が 117 であることに反する。 よって, a < b とおいて もよい｡ MAXROO 2数αとの最大公約数 をg, 最小公倍数をLとす ると glab 2124 6は互いに 素ではないから, d' と' の組ではない。 (1) 思考プロセス

整数の性質の問題です。背理法？を利用して解くそうなのですが、よく分かりません。解説お願いします。

例題234 互いに素な自然数の性質 ★★★ 2つの自然数aとbが互いに素であるとき, a +6とbも互いに素である ことを証明せよ。

なぜgは90と75の最大公約数になるのかがよくわからないので、教えて欲しいです。

例題 235 最大公約数, 最小公倍数からの2数の決定 次の条件を満たすような, 2つの自然数の組をすべて求めよ。 (1) 最大公約数が 6, 最小公倍数が300 (2) 積が 864, 最小公倍数が 144 (3) 和が75, 最小公倍数が90

最後の行の「〜のように書ける」がなぜ写真の様に表すことが出来るのかが分からないので教えてください。

√2は無理数であることを証明せよ。 ただし, 自然数 α について、 α2が2の倍数ならば、αは2の倍数であることを用いてもよい。 背理法を用いて証明する。√2は無理数でない,すなわち,√2は有理 数であると仮定して矛盾を導く。 「√2は無理数でない」 すなわち, 「√2は有理数である」 と仮定すると,√2は,1以外に正の公約数をもたない自然数 m, nを用いて, と書ける。 √2 = m n

蛍光線の部分はどうやって出てくるのですか？

464 第8章 整数の性質 考え方 解 ***** 例 題 263 格子点 (1)1つの有理点(x,y座標がともに有理数である点)しかあ (2) a, bを異なる自然数とするとき, 2点A(a, 0), B (0, b) を結ぶ ない直線の例を1つ挙げよ. 線分AB (両端を除く)の上の格子点(x,y座標がともに整数です Ta 2点A,Bを通る ある点)の個数は,α, 6 の最大公約数をc とすると, c-1) 個であ ることを示せ . 20 X (1) まず,ただ1つ通る有理点を考える. ここでは原点を通る直線として考える (2) 線分ABの方程式を考え,それと a, b の最大公約数c を考える。 (1) y=√x (有理点(0, 0) のみ通る) (理由) (00) 以外の有理点 (xo,yo) (x≠0) を通ると背理法で示す。 すると, yo=√3 x となる. ここで、一番となり、メタ なってしまい矛盾する. したがって (0, 0) 以外の有理点を通らない. 1つも有理点を通らない 直線は, y=√3+1 など､ (②2) 線分ABの方程式は y = = 1/(x²-0) + b = となり、√3が有理数と xo,yo が有理数より a,bの最大公約数はcであるから, [a=ca' (α', 6' は互いに素) |b=cb' b Px5 とおける、これをABの方程式に代入して y b'x 0 7411 +12/11=1①より, ca cb' +y=cb' a' b'x 右辺は整数,yは整数より, も整数, α' と'は 分数のところに注意 互いに素より, xは α' の倍数, すなわち, a る. x=ka' (kは自然数) (x x+y=1(x>0,y>0) x+1=1 とおける.同様に, これらを①に代入すると, 1+1=2より、 k l C O (lは自然数) とおける . l' k+1=c....... ② 皿は有理数 X0 線分なので、x,yの 囲に注意する. 34 B(0,b) Ala ② を満たす正の整数 (k,l) は, (1, c-1), (2, c-2), , (c-1, 1) よって,題意を満たす格子点の個数は, (c-1) 個である. ●注 (2)の結果より, α, bが互いに素のとき､線分 ARが存在しない。 練習

蛍光線部はどうやって出てくるのですか？

464 第8章 整数の性質 考え方 解 ***** 例 題 263 格子点 (1)1つの有理点(x,y座標がともに有理数である点)しかあ (2) a, bを異なる自然数とするとき, 2点A(a, 0), B (0, b) を結ぶ ない直線の例を1つ挙げよ. 線分AB (両端を除く)の上の格子点(x,y座標がともに整数です Ta 2点A,Bを通る ある点)の個数は,α, 6 の最大公約数をc とすると, c-1) 個であ ることを示せ . 20 X (1) まず,ただ1つ通る有理点を考える. ここでは原点を通る直線として考える (2) 線分ABの方程式を考え,それと a, b の最大公約数c を考える。 (1) y=√x (有理点(0, 0) のみ通る) (理由) (00) 以外の有理点 (xo,yo) (x≠0) を通ると背理法で示す。 すると, yo=√3 x となる. ここで、一番となり、メタ なってしまい矛盾する. したがって (0, 0) 以外の有理点を通らない. 1つも有理点を通らない 直線は, y=√3+1 など､ (②2) 線分ABの方程式は y = = 1/(x²-0) + b = となり、√3が有理数と xo,yo が有理数より a,bの最大公約数はcであるから, [a=ca' (α', 6' は互いに素) |b=cb' b Px5 とおける、これをABの方程式に代入して y b'x 0 7411 +12/11=1①より, ca cb' +y=cb' a' b'x 右辺は整数,yは整数より, も整数, α' と'は 分数のところに注意 互いに素より, xは α' の倍数, すなわち, a る. x=ka' (kは自然数) (x x+y=1(x>0,y>0) x+1=1 とおける.同様に, これらを①に代入すると, 1+1=2より、 k l C O (lは自然数) とおける . l' k+1=c....... ② 皿は有理数 X0 線分なので、x,yの 囲に注意する. 34 B(0,b) Ala ② を満たす正の整数 (k,l) は, (1, c-1), (2, c-2), , (c-1, 1) よって,題意を満たす格子点の個数は, (c-1) 個である. ●注 (2)の結果より, α, bが互いに素のとき､線分 ARが存在しない。 練習

この問題において√3を有理数と仮定して、既約分数で表すことはわかりました。 しかし、このとき、既約分数以外は使ってはいけないのである有理数に限定されることも分かります。 ここで私が思ったのは，このある有理数に分類されない，ほかの有理数は、なぜ、無理数の証明に使えないのか？と... 続きを読む

あることを p.76 基本事項・ を導く。 二有理数にな 〇和・差・ 有理数(か 里数の和・ 理数とは 2) = 2 基本例題 45 √3 が無理数であることの証明 命題 「nは整数とする｡ n² が3の倍数ならば, nは3の倍数である」は真 ある。これを利用して, √3 が無理数であることを証明せよ。 基本 44 CHART & SOLUTION 証明の問題 直接がだめなら間接で 背理法 3が無理数でない (有理数である) と仮定する。このとき,√3=r (rは有理数)と仮 定して矛盾を導こうとすると,「√3=y の両辺を2乗して,3=r」となり,ここで先に進 めなくなってしまう。そこで, 自然数a,bを用いて√3=0(既約分数)と表されると仮 定して矛盾を導く。 解答 3 が無理数でないと仮定する。 r このとき √3 はある有理数に等しいから、1以外に正の公約 数をもたない2つの自然数α, 6 を用いて√3=1 と表される。 ³ a=√36 a²=36² ...... ゆえに 両辺を2乗すると よって, d2は3の倍数である。 2 が3の倍数ならば,αも3の倍数であるから, kを自然数 として α=3k と表される。 これを①に代入すると 9k2=362 A, bat 既約分数 : できる限り 約分して, αともに1以 外の公約数がない分数。 inf. 2つの整数 α 6 の最 大公約数が1であるとき, αとは互いに素である という (数学A 参照)。 ◆下線部分の命題は問題 文で与えられた真の命 題である。 なお, 下線部 分の命題が真であるこ との証明には対偶を利 用する。 すなわち 62=3k² よって,62は3の倍数であるから, も3の倍数である。 ゆえに,αと6は公約数3をもつ。 これは,αと6が1以外に正の公約数をもたないことに矛盾す る。 したがって,3は無理数である。 2章 6 論理と集合

解の(2)の四角部分はどうやって出すのですか？

464 第8章 整数の性質 例題263 考え方 解 1=1+3=2 (1) ただ1つの有理点(x,y座標がともに有理数である点)しか通ら (2) a,bを異なる自然数とするとき, 2点A(a,0), B(0, 6) ない直線の例を1つ挙げよ. 線分AB (両端を除く)の上の格子点 (x,y座標がともに整数であ × 練習 263 2点A,Bを通る式 y = -√2/(x-0)+b 格子点 る点)の個数は,α, 6 の最大公約数をc とすると, c-1) 個であ ることを示せ . (1) まず、ただ1つ通る有理点を考える. ここでは原点を通る直線として考える。 | (2) 線分ABの方程式を考え,それと a, bの最大公約数cを考える。 (1) y=√x (有理点(0, 0) のみ通る) 22 Je (理由) (00) 以外の有理点 (xo,yo) (x≠0) を通ると yo=√3x0 となる. 1211 をす すると, ここで、一番となり、 (2) 線分ABの方程式は,+1=1 (x>0,y>0) a a,b の最大公約数はcであるから, [a=ca' (α'′,6′' は互いに素) |b=cb' b 08 x + とおける.これをABの方程式に代入して, D y 1÷0 b'x ta' なってしまい矛盾する. したがって (0, 0) 以外の有理点を通らない. + ca' cb' となり,√3が有理数と とおける.同様に, =1.① より, 6'x a 右辺は整数,yは整数より, 互いに素より, xはα'の倍数,すなわち, x=ka' (kは自然数) これらを①に代入すると, 1+1=1より, C C RELO l' (lは自然数) とおける. Ex k+1=c....... ② 背理法で示す。 Xo, yo が有理数より Yo は有理数 Xo 1つも有理点を通らない 直線は, y=√x+v など. 線分なので, x,yの組 囲に注意する. YA B(0,b) +y=cb' も整数,α'と'は分数のところに注意 る. 0 A(a,0) ② を満たす正の整数 (k,l) は, (1, c-1), (2, c-2), (c-1, 1) よって,題意を満たす格子点の個数は, (c-1) 個である. 注 (2)の結果より, a, bが互いに素のとき, 線分AB上には格子点が存在しない. 次の(1), (2)について でその 挙げよ.

ユークリッドの互除法を画像のような解き方で行う方に質問です。 大きい数から小さい数を引いて下に下ろしますが、それだと際限なく引けてしまいませんか？適切な場所で止めるにはどうしたら良いのでしょうか(画像では1と3) この方法は使いにくいなどあれば教えてください🙇🏻‍♀️

237 ) $26 2:15 2 4 24 1 "1 C u 11 3 3 2

90と自然数nの最大公約数が15最小公倍数が450出るときのnの値の求め方を教えてください