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2直線x+y-4=0
①, 2x-y+1=0
たす直線の方程式を,それぞれ求めよ。
点(-1,2)を通る
解答
kは定数とする。 方程式
k(x+y-4) +2x-y+1=0
③は、
2直線 ① ② の交点を通る直線を表す。
(1) 直線③が点(-1, 2) を通るから
-3k-3=0 すなわち k =-1
指針▷2直線①,②の交点を通る直線の方程式として、次の方程式 ③ を考える。
k (x+y-4)+2x-y+1=0 (kは定数)
これを③に代入して
直線
(1) 直線③が点(-1, 2) を通るとして, kの値を決定する。
(2) 平行条件ab-a2bi=0 を利用するために, ③ を x, yについて整理する。
CHART 2直線f=0, g=0 の交点を通る直線kf+g=0) を利用
......
-(x+y-4)+2x-y+1=0
......
すなわち
x-2y+5=0
(2) ③ x,yについて整理して
(2) 直線x+2y+2=0 に平行
SONE
② の交点を通り、次の条件を満
(-1,2)
2 O
(2)
4
(k+2)x+(k-1)y-4k+1=0
直線 ③ が直線 x+2y+2=0に平行であるための条件は
よって
k=-5
(k+2)·2-(k-1).1=0
これを③に代入して
-5(x+y-4)+2x-y+1=0
すなわち
x+2y-7=0
基本 78
TAKO
別解として, 2直線の交点の
座標を求める方法もあるが,
左の解法は今後,重要な手法
となる(p.160 基本例題 104
参照)。
|検討]
与えられた2直線は平行でな
いことがすぐにわかるから,
確かに交わる。 しかし, 交わ
るかどうかが不明である2直
線= 0, g=0 の場合,
kf+g=0 の形から求めるに
は 2直線が交わる条件も必
ず求めておかなければならな
い。
野宿
③ の表す図形が, [1] 2直線 ①, ② の交点を通る [2] 直線であることを示す。
[1] 2直線の傾きが異なるから, 2直線は1点で交わる。 その交点 (xo,yo) は, xo+yo-4=0,
2x-yo+1=0 を同時に満たすから、んの値に関係なく, k (x+yo-4) +2x-yo+1=0 が成り
立ち, ③は2直線 ① ② の交点を通る。
[2] ③ x,yについて整理すると
(+2)x+(k-1)y-4k+1=0
k+2=0, k-1=0 を同時に満たすんの値は存在しないから, ③ は直線である。
なお,③は,の値を変えることで, 2直線 ① ② の交点を通るいろいろな直線を表すが、 ① た
けは表さない。
