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26 2次曲線と直線(2)
119
A
重要例題
の方程式を求
xの2次方
の方程式を
の2次方程
線の方
327
"(1)
点(-2.
を求めよ。
0) から楕円 x2+3y2=2 に引いた接線の方程式
(2) 傾きが1で双曲線 2x2-y=-2 に接する直線の方程式を求
めよ。
B
328 放物線 y=8x と円 x2+y'=2の共通接線の方程式を求めよ。
7点 (3,4)から楕円 9x2+16y2=144 に引いた2本の接線は直
変することを示せ
程式
を
x2
双曲線
y2
My
a² 62
1 上の点P (x1,y) における接線の方程式は、
→③
=1で与えられることを示せ。
331 次の曲線上の与えられた点における接線の方程式を求めよ。
x2 22
+ =1
254
√3
(2) x²-12=1 (-3√5, 4)
4
*(3) 2x²-y2=2(2,2) (4) y'=10x (2,2√5)
3 4x²+32=4 (√5, 2√5) *(2) x²-4y²=4 (2, 3)
332 与えられた点から次の曲線に引いた接線の方程式を求めよ。
333円 x2+4y2=4上の3点A(-2,0),B(0, 1), P を頂点と
する AAPBの面積が最大となる点Pの座標を求めよ。
334 放物線y=4px(=0)について,焦点Fから任意の接線へ下
ろした垂線をFQ とすると, 点Qはy軸上にあることを示せ。
6
ヒント 329 y=m(x-3)+4と楕円の方程式からyを消去して得られるxの2次方程式に
おいて,D=0(mの2次方程式)の解 m, m2 が2接線の傾き。
○○
第4章式と曲線
[1] 丸=0のとき
2Dxt
①からタニー
2px₁
. P
31
"
また。 F(p, 0) を通り, 直線 ①に垂直な直線
この方程式は y=(x)
すなわち y=-
①と③からyを消去すると
2x+
31
2px
y
両辺に2py を掛けて整理すると
(4p²+ y²)x=x²-4px₁)
②から4px 0であるから
(4p²+y₁²)x=0
42 +20 であるから x=0
これを①に代入すると
2px1
y=-
y₁
2px
したがって, 点 Qの座標は0
y
ゆえに点Qはy軸上にある。
[2] =0のとき ② から x = 0
(
ゆえに、 ① は直線x=0 すなわちy軸を表す。
したがって, 焦点F から接線 ①に垂線 FQ を
下ろせば,点Qはy軸上にある。
[1], [2] から, 題意は示された。
335 点Pの座標を (x, y) とする。
点PとF(2,0)の距離は
√(x-2)^2+y^
点Pと直線x=1の距離は
|x-(-1)|=|x+1/
(1)√(x-2)^2+y^ : x+1=1:1であるから
√(x-2)2+y^2= x + 1/
両辺を2乗すると
(x-2)2+y^=(x+1)²
334 焦点Fの座標は
(p. 0)
整理して6-212)
...... ①
は
放物線上の点P (x1,y) における接線の方程式
yy=2D(x+x1)..... ①
よって、条件を満たす点Pは, 放物線 ① 上
る。 逆に, 放物線 ①上の任意の点P(x,
また、点P(x1,y) は放物線上にあるから
y₁²=4px₁ ②
条件を満たす。
