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例題
基本
曲線 (1) y=
x2-4
うに
指針 前ページの参考事項 ①~③ を参照。 次の3パターンに大別される。
川線
315
00000
(2) y=2x+√x2-1 の漸近線の方程式を求めよ。
P.314 参考事項 ①〜③
→ または →∞ となるxの値に注目。
解答
①x軸に平行な漸近線
②x軸に垂直な漸近線
limy または limy が有限確定値かどうかに注目。
③x軸に平行でも垂直でもない漸近線
X188
limy
(有限確定値)なら、直線y=ax+bが漸近線。
α (有限確定値) lim(y-ax)=b
6章
1 26
(x→∞をx→∞とした場合についても同様に調べる。)
(1) ② のタイプの漸近線は、分母 = 0 となるxに注目して判断。 また, 分母の次数>
分子の次数となるように式を変形すると, ③のタイプの漸近線が見えてくる。
(2)式の形に注目しても,①,② のタイプの漸近線はなさそう。しかし,③のタイプの漸
近線が潜んでいることもあるから,で示した極限を調べる方法で, 漸近線を求める。
関数のグラフ
23
(1)y=
=x+
4
4x
x2-4
定義域は,x2-4≠0から xキ±2漸近線(つまり極限)を調べ
やすくするために,
分母の次数>分子の次数
の形に変形 分数式では,
このような式変形が有効)。
(1) x=-2y
また
lim y=±∞, lim y=±∞ (複号同順)
x2±0.
x-2±0
lim(y-x)= lim
4x
x
= lim
=0
59
4
x→∞
1-
+
x2
x±∞ x→±∞ x4
を求め
以上から、漸近線の方程式はx=±2, y=x
(2) 定義域は,x2-1≧0から
x≦1, 1≦x
limy=± ∞ となる定数の値はないから, x軸に垂直な漸
x→p
近線はない。
√x2-1
x
lim_=lim2+
x-00 X
001X
-1)=lim(2+ √1-1)=
lim(y-3x)=lim(√x2-1-x)=lim
→∞
x→∞
=3から
-1
-=0
x √x2-1+x
よって,直線 y=3x は漸近線である。
(2)
x8-fx
lim Y = lim2+
√√x²-1
= lim (2-
1-
l=1
2
(*)
から
x
x
X111
lim (y-x)= lim (x+√x2-1)=lim
よって、直線 y=xは漸近線である。
以上から、漸近線の方程式は
y=3x,y=x
1
=0
xx-1
2.
練習
2
3√3
y=x
-2
12
-2/3 0
2√3
-3√3
x=2
(*) x→∞であるから,
<0として考えることに注
意する。つまりx=x
y
2-7
Ny=3-
01
-2
y=x
.9 の漸近線の方程式を求めよ。
