基本例題104 第k項にn を含む数列の和
次の数列の和を求めよ。
1·(n+1), 2•n, 3•(n−1), …, (n-1)•3, n:2
基本103
指針 方針は例題103同様, 第k項αをんの式で表し, Zak を計算である。
第n項が7･2であるからといって,第k項をk･2としてはいけない。
各項の・の左側の数,右側の数をそれぞれ取り出した数列を考えると
・の左側の数の数列 1,2,3, …, n-1, n
→第k項はk
・の右側の数の数列n+1, n, n-1, ….…, 3,2
→初項n+1, 公差 -1 の等差数列 →第k項は (n+1)+(k-1)・(−1)
これらを掛けたものが, 与えられた数列の第k項an [ ←nとkの式]となる。
n
n
また, Zak の計算では,n はんに無関係であるから、例えばnk=nkのように,
の前に出すことができる。
k=1
k=1
k=1
答
この数列の第k項は
k{(n+1)+(k−1)·(−1)}=−k²+(n+2)k
7
したがって、求める和をSとすると
n
S= {−k²+(n+2)k}=− [k²+(n+2) Σ k
<n+2 はんに無関係
k=1
k=1
k=1
-
→定数とみてΣの前に出
す。
- n(n+1)(2n+1)+(n+2)• ½{_n(n+1)
=
{_n(n+1){−(2n+1)+3(n+2)}
11/12n(n+1)でくくり,{}
= ồn(n+1)(n+5)
の中に分数が出てこないよ
うにする｡
00000
重要 114
ら
3章
14
種々の数列
