（2）で2520=ABCの意味がよく分からないので教えて頂きたいです。

総合 n! (1) が整数となる最小の正の整数nを求め 20 1024 (2)自然数 2520 の正の約数の個数は A, B, C の選び方は である。また,2520=ABCとなる3つの正の偶数 本冊数学A 例題 113,116 通りある。 [類 北里大] n! (1) 1024=210 であるから, が整数となるのはn! の素因数 1024 2の個数が10個以上のときである。 正の偶数について、 素因数2の個数を考えると 2は1個,4は2個 61個 8は3個 10は1個, 12は2個 である。 また, 奇数は素因数2をもたない。 n=10のとき, n! の素因数2の個数は 1 +2 +1 +3 +1=8 (個) n=12のとき, n! の素因数2の個数 ←4=22, 6=2・3,8=23, 10=2・5, 12=22.3 1+2+1+3+1+2=10 (個) ゆえに, n! 1024 が整数となる最小の正の整数nは n=12 (2) (ア)2520=2・32・5・7であるから, 2520 の正の約数の個数は (3+1)(2+1)(1+1)(1+1)=4・3・2・2=48 (個) (イ) A, B, C がすべて偶数であるとき, A, B, C はいずれも 素因数2をもつ。 よって、 残りの因数である 3, 3, 5, 7 が A, B, Cのいずれ PC ←2520がもつ素因数2, 2,2は, A, B, Cに1~ ずつ分ける。 ①

（1）で長さの比＝高さの比になる理由がわからないです。教えて頂きたいです。

総合 四面体 ABCD と四面体 ABCPの体積をそれぞれV, Vp とする。 (1) 8 (ア) AP=IADが成り立つとき、体積比を求めよ。 VP A=b+cAC+dADが成り立つとき、体積比 1/7 を求めよ。 ●(2) 四面体 ABCD について, 点 A, B, C, D の対面の面積をそれぞれα, β, Y, δとする。原 OA+BOB+yOC +8OD 点を0としてOf= となる点を考える。 四面体 ABCD の体積 a+β+y+8 をVとするとき, 3点 A, B, Cを通る平面と点Iの距離を求めよ。 ●(3) (2) の点Iは四面体 ABCD に内接する球の中心であることを示せ。 (1) (ア) AP=tADのとき よって AP=|t|AD =|t| VP AP t|AD V = = AD AD (イ) QをAQ=dAD を満たす点とすると 直す すなわQP=bAB+cAC [早稲田大 ] +本冊数学C 例題 61 6+y+8 10 00 - AP-AQ=bAB+cAC++8 +8+ る ゆえに, 直線 PQ は平面 ABCと平行である。 よって, VP は四面体 ABCQの体積に等しい。 VP (011)A (0 これと(ア)から =|d| 1つの V 1 (1) V, VP について,底 面を △ABCとしたとき の高さについて考える。 (イ) 四 A Q 1- B 合

①-②で連立方程式のようにaの値kの値を求めたのに(1)でなぜ不適になってしまうのかわからないです！ 分かる方お願いします🙇‍♀️

2 ゆえに、3, 5 √3 ·≤a≤- √3 1≤a ” a≦- 2 4 2 12-ac e が2の倍数の を利用する やすい。 (1) 2つ ゆえにd-ai+kai-a+3-3ki=0 方程式の純虚数解を x=ai (a は実数でα≠0) とすると (1+i) · (ai)+(k+i) ai+3-3ki=0 練習 k を実数の定数, i=√-1 を虚数単位とする。 xの2次方程式 (1+i)x2+ (k+i)x+3-3ki=0 が純虚数解をもつとき, kの値を求めよ。 ④ 42 【摂南大〕 純虚数は10 でない笑数)の形の複素 数。 Job (-a-a+3)+(-a2+ka-3k)i=0 すなわち -3)) の部 に書いてもよ 。 ①-② から よって iについて整理すると (a2+a-3)+(α-ka+3k)i=0 a2+a-3,a-ka + 3k は実数であるから a2+a-3=0. ①, a²-ka+3k=0 ... a(1+k)-3(1+k)=0 (a-3)(k+1)=0 ゆえに α=3 または k=-1 ←A, B が実数のとき ② A+Bi=0 ⇔A=0, B=0 EA [1] α=3のとき, ① を満たさないから不適。 ←a=3のとき、 ① は [2] k=-1のとき,②はα+α-3=0となり, ①と一致する。 9=0 となるが,これは不 -1±√13 合理である。 とき 方程式 ① を解くと a= 2 -B)>0 β<x よって, αは0でない実数である。 したがって k=-1 (a+b)-8 ←「αは実数, a≠0」を 確認。 条件を満た 検討 本冊 p.76 で紹介したように,一般に次のことが成り立つ。 2次方程式 az'+bz+c=0 (a,b,cは複素数, α≠0) の解は z= (久留米 -b+(b+qi) 2a (Dの虚部) ただし, p, q は D=62-4ac とするとき,p-q^= (D の実部), pq=- 2 を満たす実数とする。 +=+ このことを導いてみよう。

（3）で第2項が18となっていますが3と18の間に項が存在しないとわかったのはなぜですか...？教えて頂きたいです。

総合 8 x. についての方程式x2-6xy+y2=9 ...... (*) に関して x,yがともに正の整数であるような(*)の解のうち, yが最小であるものを求めよ。 (2) 数列 (1, 2, 3, 漸化式 an+2-6am+1+an=0 (n= 1, 2, 3, ...)を満たすとする。 このとき,(x,y)=(an+1, an) が (*) を満たすならば,(x,y)=(n+2,n+1) も (*)を満た すことを示せ。 (1)y=1のとき,(*)は [千葉大 ] ⇒ 本冊 数学 B 例題 57,58 ←x²-6x・1+1=9 (3)(*)の整数解 (x, y) は無数に存在することを示せ。 x2-6x-8=0 よって x=3±√17 このxの値は不適。 y=2のとき,(*)は よって ←解の公式を利用。 x2-12x-5=0 ←x-6x・2+22=9 総 x=6±√41 このxの値は不適。 y=3のとき,(*)は x2-18x=0 ←x²-6x3+32=9 よって x(x-18)=0 x0 とすると 1001 x=18 したがって, 求める (*)の解は (x, y)=(18, 3) (2) (x,y)=(an+1, an) が (*)を満たすから (*)に解を代入。 an+12-6an+1an+an²=9 数列{an} は an+2-6an+1+an=0を満たすから よって an+22-6an+2an+1+an+120s+ an+2=6an+1-an (P(B)-PA X))-(X)D -(I+8)00as (1-6-=(6an+1-an)2-6(6An+1−an) an+1+an+1² 100 ←an+2=6an+1—An &ft =an+12-6an+1an+an2 ①から an+22-6an+2an+1+an+1=9 したがって, (x, y) = (an+2, an+1) も (*) を満たす。 (1+0) 入。 B (3)(1),(2)の結果から, n=1,2, に対して、数列{a} を α1=3, a2=18, an+2-6an+1+αn=0 ...... ...... ← (1) より, により定めると, すべての自然数nに対して, (x, y) = (an+1,an) は (*)の解である。 (x, y) = (az, a) は を満たすから,(2) よって、②で定められる数列{an} の各項がすべて互いに異な る整数であれば, (*) の整数解は無数に存在する。 -100より (x, y) = (a3, az) も(*)を満たす。 このことを繰り返す。 +8=000 以下,②で定められる数列{an} について すべての自然数n に対して an, an+1 はともに整数 かつ 0<an <an+1 ③ ←②から an+2=6an+1-an 60 これから③の不等式が 思いつく。 が成り立つことを数学的帰納法により示す。 [1] n=1のとき a=3, a2=18 から, ③は成り立つ。 [2] n=kのとき,③が成り立つと仮定すると, ak, ak+1 はと もに整数で 0<an <ak+1 n=k+1のときを考えると,② から ak+2=6ak+1-ak ak, ak+1 は整数であるから, ak+2 は整数である。 $200M-( ak+2-ak+1=(6ak+1-ak-ak+1=54k+1-ak また =(() ここで, 0<ak<ak+1 から 0<ak<ak+1 <5ak+1 (1-n)s(a) よって 5ak+1-ak0 ゆえに ak+1 <ak+2 JA よって、n=k+1のときも ③は成り立つ。

数列の問題です。（2）で、d（r）＝1から2≦r≦9となる理由がわからないです。教えて頂きたいです。

数学B- -111 arを自然数とし,初項がα,公比がの等比数列 α1, 2, 3, ... を {a} とする。また,自 総合 数Nの桁数をd(N) で表し,第n項がbn=d(an)で定まる数列 bi, 62, ba, ...... を (6) とす る。このとき、次の問いに答えよ。 (1) a=43,r=47のとき, baとを求めよ。 (2)a=1のとき, 1<<500において, {6} が等差数列となるrの値をすべて求めよ。 (1) an=43.47"-1であるから α は 5桁であるから a=43・472=94987 63=5 [類 滋賀大 ] 本冊 数学 B 例題11 ←直接値を計算し,桁数 を調べる。 総合 また α7=43476 よって 40' <a<507 ここで 507=57・107=78125・107=7.8125・10"1012 40'=214・107=16384・107=1.6384・10">10" ゆえに 10"<α <1012 したがって, α7 は12桁であるから (2)a=1のとき an=rn-1 =1であるから b1=1 b=12 ①まず初項を求める。 bn は an の桁数であるから, 自然数である。 また,{bn} 等差数列となるとき,公差をdとすると d=b2-b1=d(a2)-1=d(r)-1 d(r) は自然数であるから, dは0以上の整数である。 ここで, d=0 とすると, すべての自然数nに対してbn=1 また, d(r) =1から 2≤r≤9 このとき, α5=≧24=16であるから これはbs=1に矛盾するから すなわち, dは自然数である。 b5≥2 d=0 ←40 <43 < 50, 40 <47 <50から。 43・47 の値は求めにく いから 10の倍数で挟み、 407,507 の桁数を調べる。 ←d=bn+1-6nl ←d(r) は自然数rの桁数。 ←d≧1となること (d≠0 であること)を背 理法で示す。 10b-l≦an<10 であり, bn=1+(n-1)dあるから 10(n-1) d≦rn-1<10(n-1)d+1 ...... n≧2のとき,①の各辺は正であるから ① ←Nの整数部分が桁 101N<10% 10d≤r<10d+n ①' 1 <r <500 とdが自然数であることから d=1, 2 ←①の各辺を 1 カー乗。 ←d≧3のときは, d=1のとき, 'から 10≦x<10's(=10.10㎡) 10≧1000 となり、不適。 これが2以上のすべての自然数nで成り立つような自然数 ←nの値が大きくなるほ はr=10であり,このとき {bm} は初項 1, 公差 1 の等差数列と (1)(1)ール なる。 ど, 1 n-1 の値は0に近 づいていく (必ず正)。 d=2のとき, ' から 100≦x<10㎡(=10010 よって これが2以上のすべての自然数nで成り立つような自然数 =100であり,このとき {bm} は初項1,公差2の等差数列 となる。 10<10･10両<11とな るようなnが必ず存在 する。 以上から r=10, 100

数列の問題でお伺いしたいことがあります。（3）の解説1行目で（k－x）^2≧0を求めているのはわかるのですがコレはどのような数でも成り立つのでその前の文のk（）に対し〰︎の文は必要ないのではないかと思ったのですが何故わざわざ記しているのでしょうか？教えて頂きたいです。

総合 2 xn で表す。 (1)n=3のとき,このような数列をすべて書き出せ。 (2)x=55のとき, x2 を求めよ。 k=1 k=1 n(n+1)(2n+1) (3)不等式②kxus. 6 を証明せよ。 れを自由とする。1からのまでのすべての自然数を課程なく使ってできる数料を 総 k=1 (4)和(k)を最大にする数列xxxを求めよ。また。そのときの和を求めよ (1)1,2,3; 3,1,2; 1,3,2; 2, 1, 3; 2,3,1; 3,2,1 [茨城大] 本冊数学 B 例題 21 ←もれなく、重複なく書 02: き出す。 .,nを並べ替えた←どのX 01-181= (2) 数列 x1, X2, ., xn は, 数列 1, 2, ものであるから k=1 x=k=n(n+1) 2 に対しても2xの値は 01> k=1 同じ。 1/23n(n+1)=55とすると n(n+1)=110 TED ←n の値を求める。 n(n+1)=110 を 10・11=110 であるから 1=id n=10 10 よって k=1 n2+n-110=0 と変形し もよいが, n(n+1)が 単調増加であることを利 用した。 k2+xk2 ゆえに kxk≤ 2 121 (h 考える. [= (b x²=k²=10 (10+1)(2·10+1)=385 (3) k (1≦k≦)に対し, 1≦x≦nであるから (k-xk)2≧0 ※kxnの形をつくること k=1, 2,....., nとして, 辺々を加えると n n mk2+xk2 Σkxk≤ Σ k=1 x²-k² k=1 n k=1 すなわち k=1 k=1 1 ½ k² + 2 ① であるから k=1 n(n+1)(2n+1) 6 n Σ kxn≤ Σ k² & & T←k²+x² T k=1 (2) 1- (等号が成り立つのは,すべてのんでxh=kのとき) (4) ①,② から n n n n n Σ (xn+k)² = 2 xn² + 2 Σ kxn+ Σ k² = 2Σ k²+2Σ kxn k=1 0001k=1 k=1 k=1 (1-01-01 =) 1-8 k=1 k=1 2/13n(n+1)(2n+1)+2.n(n+1)(2n+1) k=1 n =2 k² 1200 k=1 ←①を利用。>>1 b 6②を利用 n よって (x+k) 143n(n+1)(2n+1) k=1 等号は,すべてのkでxh=kのとき成り立つ。 001 n ゆえに, 2(x+k)を最大にする数列はx=k(k=1,2, RESCOSKA IREL k=1 n)であり,そのときの和は 3 n(n+1)(2n+1) a=b .day 001 01

数列の問題で分からない点があるので教えて頂きたいです。（1）で1と2はまとめてしまっているのに3と4はそれぞれを足し合わせている理由がわからないです。教えて頂きたいです。

n 数学 B 117 2を正の整数とする。A,B,Cの3種類の文字から重複を許してn個の文字を1列に並べると 総合 き、AとBが隣り合わない並べ方の総数をfnとする。例えば, n=2のとき,このような並べ方 は AA, AC, BB, BC, CA, CB, CCの7通りあるので,f2=7である。 6 (1)AとBが隣り合わない並べ方のうち, n番目がAまたはBであるものをgn通り, n番目 Cであるものをん通りとする。このとき,n+1, hn+1 を gn, hn を用いて表せ。 (2) 数列 {fm} に対して, fn+2 をfn+1とを用いて表せ。 fn+1 (3) an= により定まる数列{an}について, an と an+1 の大小関係を調べよ。 fn [東北大 ] 本冊 数学 B 例題 54 (1) n+1番目が AまたはBであるものは,次の4つの場合があ←番目と n+1番目に る。 [1] n番目がAで,n+1番目もAS) ( 1 + 注目。 ←AとBが隣り合わな [2] n番目がB で, n + 1番目もB hh [3] n 番目がC で, n +1番目は A いに注意。 [4] 番目がCで, n+1番目はB n番目が AまたはBであるものは [1] と [2] を合わせてgn 通 りあり, n番目がCであるものは [3] と [4] それぞれでh, 通 りずつあるから gn+1=gn+2h ...... ① また, n+1番目がCであるものは, n番目はAでもBでもC ② でもよいから hn+1=gn+hn ... G

数列の問題なのですが（1）で帰納的に整数係数の〰︎︎とありますがどういうことでしょうか？そうなると証明されていないのに勝手に利用して良いのですか...？教えて頂きたいです。

総合 nを正の整数とし,次の条件(*)を満たすxについての次式Pn(x) を考える。 4 (*) すべての実数0に対して cosno=Pn(cos0 ) (1) n≧2のとき,Pn+1(x) をPn(x)とP-1(x) を用いて表せ。 (2) Ph(x)のx”の係数を求めよ。 (3)coso= 1 10 とする。 101000 cos” (5009) を10進法で表したときの, 一の位の数字を求めよ。 -18-48) [早稲田大 →本冊 数学B 例題 55 (1) cos(n+1)0=cos(n0+0)=cosnocoso-sinnQsin O (←加法定理 cos(n-1)0=cos(no-0)=cosnocos0+ sinn0sin O よって cos (n+1)0+cos (n-1)0=2cos nocoso 1 (1+税)- ゆえに cos(n+1)0=2cosocosn0-cos(n-1)0 - よって Pn+1(x)=2xPn(x)-P-1(x) (n≧2) ...... ① (2) Pi (x)=x cos 20=2cos20-1 から a1=1, a2=2+ また, ① において,最高次の項の係数を比較すると an+1=2an (n≧2) これらと① から, Pn(x)は帰納的に整数係数の次式といえる。 Pn(x) の最高次 x ” の係数を an とすると P2(x)=2x2-1) + P2(x):2次式, ゆえに, 数列{an} は初項 1,公比2の等比数列であるから an=1•2"-1=2n-1 30G ←P+1 (cos0) =2cosQPn(cose) -PR-1(cos) n- ←P, (x):1次式, P2(x):2次式から, P3(x)は3次式である。 P3(x) : 3次式から, P4 (x)は4次式である。 == (S) 100

数列の問題なのですが、K＝0はダメなのでしょうか...？教えて頂きたいです。

練習 等差数列{an}, {bn} の一般項がそれぞれan=3n-1,bn=4n+1であるとき,この2つの数列に ③ 10 共通に含まれる数を, 小さい方から順に並べてできる数列{cn} の一般項を求めよ。 α=bm とすると 3l-1=4m+1 よって 31-4m=2 ① l=-2,m=-2は①の整数解の1つであるから 3(l+2)-4(m+2) = 0 ゆえに 3(l+2)=4(m+2) 3と4は互いに素であるから, kを整数として 1+2=4k, m+2=3k すなわち=4k-2.m=3k-2 と表される。 ←l=2,m=1とした場 合は,最後でんをn-1 におき換えることになる。 (本冊 p.21 注意 参照。 次ページの参考 で解答 例を示した。)

解説の both of whichの代わりに ~ の部分がよく分かりません。 whichは関係詞じゃないのですか？both of themでも良い気がしてしまいます。 教えて下さい 🙏🏻

(5) He wrote two novels, both of which received favorable reviews from critics. 彼は2冊の小説を書いた。その両方が評論家から好意的な書評を得た。 both of which の代わりに both of them は接続詞がないので不可。