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重要 例題 122
3つの数がすべて素数となる条件
nを自然数とする。 n, n +2, n+4 がすべて素数となるのはn=3の場合だ
けであることを示せ。
[ 早稲田大〕
基本 117
CHART & T HINKING
方針が立てにくい問題
数値を代入して見当をつける
本問の場合、 命題が成り立つことを証明するため
に何を示せばよいか, 方針を立てるのが難しい。
そこで, 5以上の素数nについて, n +2, n+4の
値を調べてみると右の表のようになり、素数にな
らない数を眺めていると共通点が見つかる。 そ
の共通点を手がかりにnの分類を考え、命題を証明できないだろうか?
n
n+2
n+4
7
5
7
9
9 11
11
13 17 19
13 15
19 21
15 17 21 23
解答
nが素数でないときは条件を満たさないから, nが素数であ
る場合について考えればよい。
n=2のとき n+2=4,n+4=6 は素数ではない。
n=3のとき n+2=5, n+4=7 も素数である。
nが5以上の素数であるとき, nは自然数kを用いて
3k+1 または 3k+2
tl, G
上の表から、 n +2, n+4
が3の倍数であると見当が
つく。
よって, 5以上の素数nに
ついてはn=3k+1,
3k+2の場合に分けて,
n+2, n+4のどちらかが
素数にならないことを示す。
と表される。
[1] n=3k+1 のとき
n+2=(3k+1)+2=3(k+1)
+1は2以上の自然数であるから, n +2 は素数ではない。 3・13 は素数であるか
[2] n=3k+2 のとき
n+4=(3k+2)+4=3(k+2)
ら、
の断りは重要。
+2は3以上の自然数であるから, n +4 は素数ではない。
よって, nが5以上の素数であるとき, n +2 または n +4は
素数ではない。
以上から,n,n+2, n +4 がすべて素数となるのはn=3の
場合だけである。
INFORMATION
解法の糸口を見つけるために
整数の問題にはさまざまなタイプがあり、解法の糸口が見つけにくいこともある。
このようなときは、上の例題のように
いくつかの値で実験 規則性などに注目し、解法の道筋を見出す
といった進め方をとる場合もある。 数学では試行錯誤をすることも大切である。
