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不等式の証明
(1) a, b, x, yは実数とする。 不等式 (a2+62)(x2+y^) ≧ (ax+by) が成り立つことを証明せよ。
また,等号が成り立つときを調べよ。
当
(2)>26>2のとき, 不等式 ab+4 > 2(a+b) が成り立つことを証明せよ。)+(T-2)=11-8.0
(3)a0b>0のとき、不等式 3√a +2√6 > √9a+46 が成り立つことを証明せよ。
解法へのアプローチ
0+8=11-FS7
入
不等式を証明するには, 「A≧B⇔ A-B≧0」 であることを利用する。
A-B≧0 を示すには、次のように変形できないか考える。
(1-2)=11-8-e+
6-1=11-81
[1]
A-B=...... = (実数) ≧ 0
解答
(1)
(2)
[2] A-B=......= (0以上の数)×(0以上の数)≧0
(a2+62)(x2+y2)-(ax+by)2
=ax2+αy2+b2x2+b2y2-ax2-2abxy-b2y2
=a2y2+b2x2abxy
=(ay-bx)2
a, b, x, y は実数であるから, ay-bx も実数である。
よって
(ay-bx)20
したがって
(a2+62)(x2+y2)-(ax+by)≧0
(8-x)S+ (S
文字に条件が
を示すには,
にできないか
左
すなわち (a2+62)(x2+y2)≧(ax+by)2
この不等式は,
ワルツの不等式
(証明終わり)
等号が成り立つのは ay-bx=0, すなわち ay=bxのときである。
ab+4-2(a+b)=a(b-2)-2(6-2)
文字が複数ある
