三角方程式の解の個数
重要 例題 126
aは定数とする。 0≦0 <2πのとき, 方程式 sin' - sin0 = a について
150g
(1) この方程式が解をもつためのαのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) この方程式の解の個数をαの値によって場合分けして求めよ。
CHART & SOLUTION
方程式f(0)=a の解
2つのグラフy=f(0),y=a の共有点
sin0=k(0≦0<2π)の解の個数 k=±1 で場合分け
期間①
の個数はk=±1 のとき1個; −1 <k<1のとき2個;k<-1,1<k のとき0個
150
解答
(1) sin²0-sin0=a
sin0=t とおくと
②
ただし、0≦0 <2π から 01≦t≦1...... ③
したがって, 方程式 ① が解をもつための条件は,
方程式 ②③ の範囲の解をもつことである。
1-aduh TOL200 250 x>020 (1) £0)
①とする。
t²-t=a
0 方程式②の実数解は、y=-1=(1-212)-1/24 [2]+
の
[3]
グラフと直線y=α の共有点のt座標であるから,
[4]-
[5]
右の図より -sas2
a≤2
seas
ttt0=p1200mia
⑩ (2) (1) の2つの関数のグラフの共有点のt座標に注目すると
方程式 ① の解の個数は,次のように場合分けされる。
[1] α=2 のとき, t = -1 から
1個
[2] 0<a<2のとき, -1<< 0
から 2個 [4] ~
[3] α=0 のとき, t = 0, 1 から
3個
[4]
[4] -1/ <a<0のとき,0<t</12/12/3
[1]-
1/12/2<1
<t<1
a <1/12 <a のとき
a<-₁
[2] 2
の範囲に共有点がそれぞれ1個ずつあり,そ [1]
れぞれ2個ずつの解をもつから
4個
[5] a=-21 のとき, t=1/12 から
2個
[6]
10個
10
-1
基本125
YA)
2
1
021
π
y=a
*** aor
aor
2πi
0
t=sin 0
205
-[3]
-[5]
- [3]
4€
16
