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基本 例題 75 第n 次導関数を求める (1)
nπ
(1) y=sin2x のとき,y)=2"sin(2x+
2
nを自然数とする。
00000
sin(x+ であることを証明せよ。
/p.129 基本事項 重要 76, p.135 参考事項
(2) y=x”の第n 次導関数を求めよ。
指針 yan) は,yの第n次導関数のことである。そして,自然数nについての問題である
から, 自然数nの問題 数学的帰納法で証明の方針で進める。
(2)では, n=1,2,3の場合を調べてy() を推測し,数学的帰納法で証明する。
注意 数学的帰納法による証明の要領 (数学B)
[1] n=1のとき成り立つことを示す。
n=k+1のときも成り立つことを示す。
=kのとき成り立つと仮定し,
[2]
nπ
(1)y(n)=2"sin2x+ 2
① とする。
解答
[1] n=1のとき y'=2cos2x=2sin2x+
トル)であるから,①は成り立つ。
kл
[2]n=k のとき,①が成り立つと仮定すると y = 2* sin(2x+
n=k+1のときを考えると,②の両辺をxで微分して
d
2
kл
_y(k)=2k+1cos2x+
( D
dx
2
ゆえに yk2'''sin(2x++1)=2*+sin{2x+(k+1)x}
よって;n=k+1のときも ① は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。
(2) n=1,2,3のとき,順に
_y'=x'=1,y"=(x2)"=(2x)'=2・1,y" = (x3)"=3(x2)"=3・2・1
したがって,y(n)=n!
......
① と推測できる。
[1] n=1のとき y=1! であるから, ① は成り立つ。
[2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると
y(k)=k!
すなわち
dk
dxkx*=k!
→(ス
n=k+1のときを考えると, y=xk+1 で, (x+1)'=(k+1)xであるから
dk
k+
dk
(d²xx*+1) = d² * ((k+1)x^}
dockdx
y (k+1)=-
=(k+1)-
dk
dxk
/dxkx=(k+1)k!=(k+1)!
よって, n=k+1のときも ① は成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立ち
次の関数の第n次導関数を求めよ
(2) y=^
y(n)=n!
