例題65.1 x≠0という前提が必要なのは、真数条件よりx>0 つまりx≠0ということですか？ また例題65.2でx=0のときを考えているのは何故なのでしょうか？？

114 基本 例題 65 逆関数の微分法,x" (カは有理数)の導関数 0000 E (1) y=x3の逆関数の導関数を求めよ。 (2) y=x+3x の逆関数を g(x) とするとき, 微分係数 g' (0) を求めよ。 (3)次の関数を微分せよ。) (ア) y=x3 岡の (イ)y=√x2+3 /p.110 基本事項 指針 (1), (2) 逆関数の微分法の公式 dy 1 を利用して計算する。 dx dx dy (1) y=xの逆関数は x=y (すなわち y=xl xをyの関数とみてyで微分し、最後にy をx の関数で表す。 (2) y=g(x) として, (1) と同様にg'(x) を計算すると, g'(x)はyで表される。 →x=0のときのyの値 [=g(0)] を求め,それを利用してg' (0) を求める。 (3) → (x)' = pxｶ-1 有理数のとき (1) y=x3の逆関数は,x=yを満たす。 を利用。 (1) y=x3の逆 別解 は y=x33 で 解答 dx よって =3y2 dy ゆえに、x=0のとき dy 1 1 = dx dx dy == 1 === 1 3y2 3(v³) 3x (2) y=g(x) とすると,条件から x=y+3y たされる。 ①から dy 11 1 = = dx dx 3y2+3 g'(x)=. x=0のとき dy 2 1 3 IC dy=(x)=x+ ①が満 関数 f(x) とその逆関 y+3y=0 すなわち y (y2+3)=0 y2+3>0であるから したがって y=0 1 1 g'(0) = 302+3 3 f'(x) について y=f(x) ⇔x=f-1(y の関係があること(p.24 基本事項20) に注意。

これってpじゃなくてpxでまとめたらダメなんですか？

= = f (ax² + bx + c) ( px + q) dx = bf (ax³ + bx² + cx)dx + af (ax² + bx + c)dx 0

赤マーカーのとこなんですけど なんでD≧0なんですか？

に、定 る。 A (1)(2)ともに、 基本 52 2次方程式の解の存在範囲 000 2x2px+p+2-0 が次の条件を満たす解をもつように定数の 値の範囲を定めよ。 (1)2つの解がともに1より大きい。 (2)1つのは3より大きく、他の解は3より小さい。 指針 2次方程式2px+p+2=0の2つの解をα、βとする。 (1)2つの解がともに1より大きい。 かつ した2次数の 利用して考えるこ る。 下の検討 21.87 基本事項 (2)1つのは3より大きく、他の解は3より小さい｡ as とβ-3が裏符号 以上のように考えると、例題 51 と同じようにして解くことができる。 なお、グラフを 利用する解法 (p.87 の解説)もある。これについては、 解答副文の参照。 2次方程式2px+p+2=0の2つの解をα,βとし、 判 2次関数 解答 別式をDとする。 =(-p)-(p+2)= p²-p-2=(p+1)(p-2) ■異なる2つの 解と係数の関係から a+β=2p, a=p+2 るから、 (1) α>1,β>1であるための条件は D0 かつ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0 (p+1)(p-2)≥0 D≧0から <-14 よって p≤ -1, 2≤p ****** ① (α-1)+(β-1)>0 すなわち α+β-2>0 から 2p-2>0 よってp>1• ****** (α-1) (B-1)>0 すなわち αβ-(a+β) +1>0 から 80なら 成り立つ。 よって p+2-2p+1>0 <3... ****** 求めるかの値の範囲は, 1, 2, ③の共通範囲をとって 2≤p<3 f(x)=x-2px+p+2 のグラフを利用する。 (1) 1-(p+1)(2)0. 軸について x=p>1, f(1)=3-p>0 から 2p<3 0 1 エクソーダ(x) (2) f(3)=11-5p<0から 123 P> 1/14 すると, α<3<βであるための条件は (a-3)(6-3)<0 題意から、α-βはあり えない。 aβ-3(a+β)+9 < 0 p+2-3・2p+9 < 0 p> 11 FOAMER Arc 52 x2(a-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように、定数αの値 の範囲を定め上

分かるところだけでいいので教えてください🙇‍♀️ 明日までなんです💦 お願いします

注意 1 答えに、 が含まれるときは ただし、 をつけたままで答えなさい。 "の中はできるだけ小さい自然数にしなさい。 用いなさい。 1 次の (2) の問いに答えなさい。 (1) 次の計算をしなさい。 ①5 - 8 (一部) (4) ③ 4x-9y+2(2x+5y) N But my ④ 2,14÷√2 76 (2) 五角柱の辺の本数を求めなさい。 28217 2 次の(1)~(5)の問いに答えなさい。 (1) 右の図のように、円周上に2点A Bがある。 点 Bを通る円Oの接線上にあり, OP=APとなる点Pを 求めるときに必要な作図を、次のア~カの中から2つ選 び記号で答えなさい。 ア 線分OAの垂直二等分線 ウ 線分OBの垂直二等分線 オ 線分ABの垂直二等分線 イ 点を通る直線ABの垂線 エ点Aを通る直線OAの重線 カ 点Bを通る直線OBの重線 B (2) 747の大小を不等号を使って表しなさい。 40 (3) (46)"を展開しなさい。 (45)(45) a²-4ab-4ab-1662 a² Ɛab rab" (4) 関数y=3x-5について xの増加量が7のときのyの増加量を求めなさい。 (5) あるバスは, A地点からB地点を経由してC地点まで走った。 A地点からB地点までの道 のりを毎時αkmの速さで走ったところ2時間かかり, B地点からC地点までの道のりを毎時 bkmの速さで走ったところ3時間かかった。 このときバスが走った道のりは何kmか. 4. b を使った最も簡単な式で表しなさい。 f 146 6 km 20. 3次の(1)(2)の問いに答えなさい。 (1) 右のデータは、あるクラスにおけるA班の生徒 6人と、 B班の生徒7人の漢字テストの得点を 左から得点が低い順に整理したものである。 データ Aの生徒の漢字テストの得点 18 20 26 27 27 30 ( 単位点) 12 ① A班における第四分位数を求めなさい。 B班の生徒の漢字テストの得点 19 21 22 26 27 29 (単位点) 29 ② 分布の範囲が大きいのはA班 B班のどちらであるといえるか。 A. Bの記号で答え、 その 分布の範囲も書きなさい。 (2) 1から6までの目がある大小2つのさいころを同時に1回投げる。 大きいさいころの出た目 の数をα 小さいさいころの出た目の数をとする。 a + b = 8 となる確率を求めなさい。 ただし、それぞれのさいころについて どの目が出ることも同様に確からしいものとする。 (2346 2662 図1のように、 4. bの値による条件が書かれたマスがあり スに書かれた条件を満たしているとき、そのマスに色を塗る。 例えば, 2.6=4のとき、 図2のようになる。 さいころを投げたあと、両方のマスに色を塗る確率をP. どちら のマスにも色を塗らない確率をQとするとき。 PxQの値について どのようなことがいえるか。 次のア~ウの中から正しいものを1つ 選び 解答用紙の )の中に記号で答えなさい。 1 3.5 5.3 が2の 倍数 bが素数 が2の 倍数 みが素数 また、P,Qをそれぞれ分数で示し、 選んだものが正しい理由 を説明しなさい。 PxQt 1 PXQ=16 ウPXQ=36 2-

（2）の解説の四角で囲ってるとこはどこからこの数字がでてきてるんですか

54 (1) P(x) を x2-2x+1, 2x2 +3x +1 すなわち (x-1) (2x+1)(x+1) で割った商を, それぞれ Q1(x),Q2(x)とする。 条件から P(x)=(x-1)2Q」 (x) +x-2 ① P(x) =(2x+1)(x+1)Q2(x)+2x+3 P(x) を2x2-x-1 すなわち (2x+1)(x-1)で割っ た商をQ(x), 余りを ax+bとすると P(x) =(2x+1)(x-1)Q(x) +ax+b ① から P(1)=1-2=-1 ②から P (-1/2)=2(-1/2)+3=2 一方, ③ から P(1) =a+b, P(-1/2) ==—-—-—-— a + b よってa+b=-1,-12a+b=2 これを解いて a=-2,b=1 したがって, 求める余りは-2x+1 (2) P(x)は3次式であるから,①より P(x) = (px+a)(x-1)2+x-2 とおける。 ただし, 0 ③ ② より P P(-1/2) =2,P(-1)=1であるから 9 =2, (-p+g) 4-3=1 (1/200)10-1/2=2(+0.4-3=1 すなわち+2q=4,p+g=1 これを解いてp=2,g=3(p≠0 を満たす) よってP(x)=(2x+3)(x-1)+x-2 =2x3-x2-3x + 1

（1）は−1 < x < 5で、出たのですが（2）がどう解くのか分かりません😰教えてください！本当にお願います🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️

A2 [1] 実数x に関する条件p, gを次のように定める。 ただし, αは正の定数とする。 px-2|<3 ...... ① gx-ax-2α2<0 (1) 不等式①を解け。 (2)pgであるための必要条件であるようなαのとり得る値の範囲を求めよ。 (配点 10)

青い線の部分の意味が分かりません。どういうことですか？

ことがわかっ 基本 67 3次方程式が2重解をもつ条件 ①①①①① 3次方程式x+(a-2)x-4a=0が2重解をもつように, 実数の定数αの値を定 めよ。 [類 東北学院大 ] 基本 65 複素数の和 気もまた複素数 ら、複素数を る多項式につ の算の等式が は次式 指針 方程式(x-3)(x+2)=0の解x=3を,この方程式の2重解という。また, 方程式(x+2) (x-2)=0の解x=-2を,この方程式の3重解という。 まず, 方程式の左辺を因数分解して, (1次式)×(2次式)=0の形に直す。 方程式が (x-α) (x2+px+g)=0と分解されたなら, 2重解をもつ条件は [1] x2+px+g=0が重解をもち, その重解は xキα [2] x2+px+g = 0 がα とα以外の解をもつ。 → 2重解はx=α であるが, 一方の条件を見落とすことがあるので,注意が必要である。 なお,[1] は,2次方程式の重解条件と似ているが, 重解が xキαである ( x = αが3重 解ではない)ことを必ず確認するように。 与えられた3次方程式の左辺をα について整理すると (x2-4)a+x-2x2=0 (x+2)(x-2)a+x2(x-2)=0(-1) (x-2){x2+(x+2)}= 0 (x-2)(x2+ax+2a)=0 または x-2=0 x2+ax+2a=0 よって この3次方程式が2重解をもつのは,次の [1] または [2] の場合である。 次数が最低のαについ て整理する。 また P(x)=x3+(a-2)x2-4a とするとP(2)=0 よって,P(x)はx-2を 因数にもつ。 これを利用して因数分解 してもよい。 解答 か b- に対し [1] x2+ax+2a=0がx=2の重解をもつ場合。 判別式をDとすると D=0 かつ a ≠2 2･1 D=α2-4・1・2a=a(a-8) であり, D=0 とすると a=0,8 a ここで, ≠2から αキー4 2.1 2次方程式 Ax²+Bx+C=0 の重解 は B 2A α=0, 8はαキー4 を満たす。 「 [2] x2+ax+2α=0の解の1つが2で,他の解が2でな い場合。 2が解であるための条件は 22+α・2+2a=0 これを解いて a=-1 [2] 他の解が2でない, と いう条件を次のように考え てもよい。 このとき, 方程式は (x-2)(x-x-2)=0 したがって (x-2)^(x+1)=0 ゆえに, x=2は2重解である。 以上から α=-1,0,8 他の解をβ とすると解 と係数の関係から 2β=2a β≠2から a=2 ■ αを実数の定数とする。 3次方程式(a+1)x-a=0 (1) ①が2重解をもつように, αの値を定めよ。 ①について (2) ①が異なる3つの実数解をもつように, αの値の範囲を定めよ。

2枚目の5行目までは理解ができるのですが、 なぜ直線上にあることが示せて、PQの方程式がこの式になるのかがいまいちピンときません。 教えてくださいお願いします💦

重要 例題 103円の2 接点を通る直線 00000 (5,6) x2+y2=9に引いた2つの接線の接点をP,Qとするとき,直 線PQの方程式を求めよ。 基本102

右ページの（1）の中の、t^2-2xt-4＝0がどこかは出てきたのか分かりません。教えてください。

数学Ⅱ α+β_m+1 ② X= 2 2 また,Pは直線上の点であるから y=mm -1)-1 m²-m-2 ③ 2 ②から m=2x-1 ...... ④ ③に代入して整理すると y=2x2-3x また,(1)の結果と④から 2x-1<-1, 3<2x-1 ゆえに x<0.2<x よって、求める軌跡は 放物線y=2x3xの x0, 2<xの部分 ya つなぎの文字 去。 (1)① ② からyを消去すると a-Bx= 2 a2-B2 βであるから これを①に代入して 数学Ⅱ -97 (2) すなわち a-B 2 x= (a+B)(α-B) 4 x=A+B M 2 R aa+B Q2 aẞ 2 2 4 よって、点Pの座標は 2 (a+h, as) x aẞ ③から -1 (1) ←y 座標が定数, x座標 3章 α+B は任意の実数。 練習 ゆえに y=-1 ④ 逆に、④が成り立つとき,α, βを2解とする 2次方程式 [図形と方程式] 練習 放物線y=- 4 @114 線の交点をP, 線分 QR の中点をMとする。 上の点 Q R は, それぞれの点における接線が直交するように動く。この P-2xt-40の判別式を D' とすると D =(-x)-1-(-4)=x2+4 よって D'> 0 (1)点Pの軌跡を求めよ。 (2)点Mの軌跡を求めよ。 類 よって、任意のxに対して実数α, B (αキβ) が存在する。 直線 y=-1 したがって, 点Pの軌跡は ← 逆も成り立つ。 点Qの座標をα, 点の座標 (24) (2) M(x, y) とすると (ただしαキβ) とする。 a+B ...... 点Qにおける接線でx軸に垂直なものはないから, 接線の傾 とすると,その方程式は x= 2 ④,y= 1/2(+2) ⑤ ④から α+β=2x ...... ⑥ y=(xa) すなわち y=m(x-a)+- Q2 a2+B2 (α+B)22aB これと立してx-a)+o ←点(x1,y) を通り きの直線の方程式 y-y=m(x-x) ⑤から y= 8 8 これに ③ ⑥ を代入して (2x)'-2(-4)_x2 整理すると x2-4mx+4ma-α2=0 y= +1 ←つなぎの文字α, β を 消去して, x, yの関係式 を導く。 8 2 したがって, 点Mの軌跡は 放物線y= +1 2 この2次方程式の判別式をDとすると =(−2m)²−1·(4ma-a²) =4m²-4ma+α²=(2m-α) 2 接するとき, D=0であるから (2m-a)²=0 よってm=1 [参考]「微分法」(第6章)を用いると,y= x2 から y' = x 2 よって,点 Q における接線の傾きは であるから、接線の 方程式は したがって,点Qにおける接線の方程式は y=1/2(xa) すなわち y= 4 a ←①が導かれた。 4 ① この2接線が直交するから 01/10/2= 同様に,点R における接線の方程式は y=! a B 同様に,本冊 p. 181 重要例題 114 において, y=x2 のとき y'=2x 8-2 B2 21 4 ② ←点Rにおける接線に すなわち 22=-1 ついてもまったく同様 あるから したがって、点P (p, p2) における接線の傾きは2p である から 接線の方程式は y-p²=2p(x-p) 5 y=2px-p² aβ=-4 ...... におき換えるだけでよい のように簡単に求めることができる。 I Aor

あっていますか？💦

00000 ①① の値の範囲を求 事項 1,2 基本 例題 95 方程式の表す図形 (1) 方程式 x2+y2+5x-3y+6=0 はどんな図形を表すか。 左 (2) 方程式 x2+y2+2px+3py+13=0が円を表すとき、定数 めよ。 $4-11