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ZXK
-TT
Cos=sin=
13
複素数平面
基本
22)
るのはどんな場合か。ただし20
Pi (21)
- zo)
180°
解答 (1) 21+222=122+12 +2r20001-4
であるから(問題2529)
121221=VP12+122+2172cos(01-02)
=V
(2)|21 + 22|=2+122+2200(01-02)
VT12+2222
(-1 cos(01-02)≤1)
=|72|+|2|=|21|+|22|
(3)上の不等式で等号が成り立つのは
または 20で cos(01-02)=1のとき
よって, 等号は 10 または 22=0または
と
01)
研究
複素数平面上で 21, 22および2+を
点をそれぞれP1, P2 およびPとする。
原点O と P1, P2が一直線上にあるとき, PA
じ直線上にあって, OP1, OP2 が同じ向きな
で 01-02=360°xn(n=0, 1, 2, ...) のとき、
(3x+ya+aẞ)
11
Br
1
+
+
Y
a
a
(a++)
(By+a+a)(a+3+2)
(7)(1/+/+/1/1)
a
=(a+B+2)(B)+ya+αβ)
R2
R2
By+ya+aß
k=a+B+71
(By+ra+aβ)(By+ra+aβ)
とおくと20
?
(a+B+)(a+B+)
(y+ya+aß) (7+7+āß)
(a+B+1)(a+B+7)
= R²
与式==R
ド・モアブルの定理
§ 1. 複素数平面
よって、nを負の整数とし, n=-mとおけば
803
(cos0+isin0)"={(cos0+isin0)''}"
={cos(-0)+isin(-0)}"
mは正の整数であるから
{cos(-0)+isin(-0)}''
= cos(-me)+isin(-m0)
∴. (cos0+isin0)"=cosn0+isin no
2533. 〈ド・モアブルの定理〉
基本
nは正の整数で,=1であるとき 0
がどのような実数値であっても
(cosO+isin0)" =cosno+isinne
が成り立つことを,数学的帰納法によって
証明せよ。
-2532. 〈ド・モアブルの定理〉
基本
解答] n は整数であるから
OP=OP1+OP2
..|21+22|=|21|+|22|
OP1, OP2 が反対向きならば
(1) (cosa+isina)(cosβ+isinβ)
次の等式を証明せよ。ただし,i=V-1
とする。
(cos0+isin0)" =cosnl+isinn0
において, n=1のとき
x(cosy+isiny)
OP=OP1 ~ OP2
...|21 +22|=|21|~|22|
=cos(a+β+y)+isin(a+β+y)
O. P1, P2 が一直線上にないときPOP
を2隣辺とする平行四辺形の頂点で
(2) nが正の整数のとき
OP1 ~ PiPOP < OP1 +P,P
2
P.POP2 であるから
sin 02 )
|21|~|32|<|21 +22|
<|21|+|22|
P1
3
1)
① ② ③ をまとめて
|21|~|22|≦|21+2 |
=1+22],
|31|+|22|
-011
る
る。
基本
この結果を三角不等式ということがある。
2531. 〈複素数の絶対値>
(cos a + isina) (cos a2+ i sin a2)
...(cos an+isinan)
(cos0+isin0)=cosno+isinno
(1) (cosa +isina) (cosβ+isinβ)
= (cos a cosẞ-sina sin ẞ)
+ i(sinacos β + cosasin β)
= cos(a + β)+isin(a+β)
:: {cos(a +β) +isin(a+β)}(cosy+isiny)
= cos{(a +B)+r}+isin{(a +B)+y}
=cos(a+β+2)+isin (a +β+7)
(2) (1) と同様にして
①の左辺 = cose+isin0
①の右辺 = cos0+isin0
よって、この場合, 等式① は成り立つ。
n=kの場合、①の成立を仮定すれば
(cos0+isin0) = cosk0+isink0
(cosQ+isin0)k+1
(cos0+isin0) (cosQ+isin0)
= (cos0+isin0)
× (cosk0 +isink0 )
= (cosocosko-sin Asink0)
+i (sin Acosk0 + cos0sink0 )
=cos(k+1)0+isin(k + 1)0
......2
②はn=k+1の場合も等式①の成り立つことを
示している。 よって、数学的帰納法により①はnが
どんな正の整数でも成り立つ。
2534. 〈n 乗の計算〉
基本
複素数平面上において、原点を中心とす
る半径Rの円周上の3点を複素数o.d
で表すとき
By+ya+aß
la+B+7l
の値を求めよ。 ただし, a + β+7 キ
によって
する。
成立す
[解答
点α, B, は点Oを中心 半径Rの円上
にあるから a=|a|=R2
同様にβ・万=・=R2
= cos(a1+a2++an)
isin(a1+a2+・・・+αn)
ここでa=a2=...=an=0とおけば
(cos0+isine)" =cosn+isinno
研究ド・モアブルの定理はn が 0 または負の整
数のときも成り立つ。
=0のとき明らか。
n=1のとき
(cos +isin 0)
cos 0-isin 0
(coso+isino) (coso-isin0 )
= cos(-0) + isin(-0)
次の式の値を求めよ。
(cos 15°+isin 15°)
2535 〈n 乗の計算〉
解答 与式 = cos(15°×6)+isin(15°×6)=i
基本
√3+i=r(cos0+isin0) に適するr, 0
を求め、それによって(√3+i)の値を計
算せよ。ただし,r> 0 とする。
解答 V3 +i=rcos0+irsin0
から
rcos0v3rsin0=1
2式を平方して辺々を加えると
