Question

星光

次の(2)の問題で青線から青線の移行がよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

例題 57
"" の値
★★★
1
1
(1)複素数zz+
√3 を満たすとき,290 +
の値を求めよ。
Z
2.30
=
1
1
= {cos(±²² 7) + ¡sin(±²² 7)}”* + {cos(± 2/37) + isin (±²/7)}"
2n
2n
土
2n
= cos( ± 21/17) + isin (± 2/2 7 ) + cos(+27) + isin (+237)
(2) 複素数zz+
= 1 を満たすとき, w = z" +
Z
の値を求め
z"
= COS
2n
3
±isin
2n
3
2n
+cos π干isin
3
2n
π
3
よ。 ただし, n は整数とする。
2n
= 2 cos
思考プロセス
(1)+(2+1)
と考えるのは大変。
《ReAction 複素数の乗は、 極形式で表してド・モアブルの定理を用いよ
例題 55
具体的に考える
2+112=1/3より2-3z+1=0 ⇒
極形式
2=
1
解 (1) z+ = √
√3より 2°-√3z+1=0
Z
よって
(複号同順)
3
(ア)n=3k(kは整数) のとき
w=2cos (2kz)=2
(イ) n=3k+1 (kは整数) のとき
w = 2cos(2kz+
237) = 2 cos² =
(ウ)n=3k+2 (kは整数) のとき
w=2cos
cos(2kz+
(ア)~(ウ)より, kを整数とすると
4
=-1
= 2 cos =-1
2 (n=3k のとき)
√√(3) -4･1･1
2 =
3
土
2
2
1
i
2
= cos(土)+isin (+)(複号同順)
このとき, ドモアブルの定理により
2 = {cos(+1) +isin(土)}
土
= cos(±5π) +isin (±5π) (複号同順)
=-1
w=
|-1 (n=3k+1,3k+2 のとき)
1
Point z+
1
=kのときの " + の値
Z
z"
1
複素数zが z+ = k ... ①(kは実数) を満たすとする。
2
① より z-kz+1=0
この2解は互いに共役な複素数z, zであるから, 解と係数の関係
よって |z|2=1 すなわち |z|=1
ゆえに, z=cos+isind とおくと
z"=cosn0+isinn0
したがって
1
1
ゆ
=
=-1
2.30
-1
2" +
したがって
2.30 +
1
=-1-1=-2
(2)+1
=-1 より
2+z+1=0
2次方程式の解の公式を
用いてzの値を求める。
よって
このことから,z+ はnの値に関わらず実数となることも分
2"
=2"+(2")-1
= (cosnd+isinn)+(cosn0+isinn0)-1
= (cosnd+isinn)+(cosn0-isinn0)
=2cosno
1
34
13
2
-1±√3i
2=
2
=
+
=cos (2) +isin (土) (複号同順)
O
このとき, ドモアブルの定理により
1
w = 2" + =z+zn
23 23
T
x
1
練習 57 (1) 複素数zが z+
==
2 を満たすとき, 12 +
2
1
(2) 複素数zが z+- =√2 を満たすとき, w=z
2.

Answer 1

𓆡

sin(-θ)=-sin(θ)
cos(-θ)=cos(θ)