直線y=ax+bがy軸方向に-1だけ並行移動した直線というのはxy平面において、y=ax+b のy座標を1マスだけ下げた直線ですよね？ ですが、 この問題の解答には、［y軸方向に-cだけ平行移動する…］と書いてあります この時y=f(x)のy座標をcマスだけ下げたものかと... 続きを読む

基本 例題 111 変曲点に関する対称性の証明 189 00000 eは自然対数の底とし, f(x) = exex+b+c (a, b, cは定数) とするとき 曲線y=f(x) はその変曲点に関して対称であることを示せ。 指針 まず,変曲点(b,g) を求める。次に証明であるが,点(b,g) のままでは計算が面倒なので, 曲線 y=f(x) が点(p,g) に 関して対称であることを, 曲線 y=f(x) をx軸方向に -p, y 軸方向に -q だけ平行移動した曲線 y=f(x+p) -g が原点 に関して対称であることで示す。 曲線y=g(x)が原点に関して対称g(-x)=-g(x) y y=f(x+p-g ・基本 105 O P \y=f(x) g(x)は奇関数 y=ex+a+e-x+b_ 解答 y=0 とすると y" =ex+a-e-x+6 exta=e-x+b ゆえに x+α=-x+b b-a よって x= e=ea=B 2 ここで,p=- とする。 b-a xpのとき,2x>2p=b-aから x+a>-x+b <このとき > 0 y" x<pのとき, 2x<2p=b-aから x+α<-x+b このとき <0 y" y" の符号の変化は,右の表の ように x p 0 + f(p)=epta-e-p+b+c=cであ るから,変曲点は点 ( b, c) 曲線y=f(x) をx軸方向に D, 軸方向に cだけ平行移動すると y 変曲点 U x=pはextae-x+b=0 の解であるから epta-e-p+6=0 nは上に凸, Uは下に凸) y=f(x+p)−c=ex+p+a_e¯(x+p)+b+c-c =exta_ a+b -x+ この曲線の方程式を y=g(x) とすると g(-x)=e-x+a+be+a+b= - (ex+a+b - e-x+a+b) <曲線 y=f(x) をx軸方 向に s, y 軸方向にだ け平行移動した曲線の方 程式は y-t=f(x-s) y ly=g(x) g(a)-- よって, g(-x)=-g(x) が成り立つから, 曲線 y=g(x) は 原点に関して対称である。 -a ゆえに、曲線y=f(x) はその変曲点 (p, c) に関して対称 10α x である。 f(p-x)+f(p+x)=2c が成り立つことからも、例題 の曲線が変曲点に関して対称であることがわかる(p.178 グラスは変曲点に関して対称 g(-a)

書いてます

定数 Q O 2026 4/190 基本 例題 90 5/20 3/31 2次不等式の解から係数決定 00000 (1)xについての2次不等式 x+ax+b≧0の解が,x-1,3≦xとなる ように、定数a,bの値を定めよ。X120 (2)xについての2次不等式 ax²-2x+b>0の解が2<x<1となるよ うに定数a,bの値を定めよ。 CHART & SOLUTION 2次不等式の解から係数決定 2次関数のグラフから読み取る (1) y=x2+ax+b のグラフが x -1,3≦xのときだけx軸を含む上側にある。 下に凸の放物線で2点 (1,0),(30) を通る。 (2)y=ax²-2x+b のグラフが-2<x<1のときだけ軸の上側にある。 上に凸の放物線で2点(-2,0), (10) を通る。 基本 87 151 3章 11 基本 78.87 式が出 解答 (1)条件から、2次関数 y=x2+ax+b のグラフは,x≦ -1, 3≦x のときだ x軸を含む上側にある。 (1) x≦1,3≦xを 解とする2次不等式の1つ + + は (x+1)(x-3)≧0 すなわち、下に凸の放物線で2点 左辺を展開して /3 x (-10) (30)を通るから 1-a+b=0, 9+3a+6=0 これを解いて α=-2,b=-3 解 (2) 条件から 2次関数 y=ax²-2x+b のグラフは, -2<x<1のときだけx 027 2次不等式 x²-2x-3≧0 x2の係数は1であるから, x2+ax+b≧0 の係数と比 較して a=-2,b=-3 inf 2つの2次不等式 ax2+bx+c<0と a'x + b'x+c'<0 の解が 等しいからといって直ち に a=α', b=b',c=c′ とするのは誤りである。 対応する3つの係数のうち、 少なくとも1つが等しいと きに限って、残りの係数は 等しいといえる。 例えば, cc' であるならば、 a=a', b=b' といえる。 軸の上側にある。 T+ すなわち、上に凸の放物線で2点 + AE) 2010)を通るから -2 1 AR x に使って考え a<o 0=4a+4+b ・① 0=a-2+b ...... ① ② を解いて a=-2,b=4 これは α<0 を満たす。 どゆこと? PRACTICE 90%/ xについての2次不等式 ax2+9x+2b>0の解が 4<x<5 となるように,定数 α, bの値を定めよ。

f’’(x)>0であるとき、f(x)の接線の傾きが増加することは理解できるのですが、画像の右図のグラフでは、xの値が左端から右に変化する時、接線の傾きは減少していませんか？なぜこのようなグラフになるのでしょうか。

168 第5章 微分法の応用 グラフの凹凸 関数 f(x) の変化をさらに細かく知りたいときに, 「f(x) の微分」だけでな . 「f'(x) の微分」 つまりは 「f(x) の微分の微分」を調べることがありま す. これを f(x) の2階微分といい, f" (x) と表します。 2階微分 微分 微分 f(x) + f'(xc) →f'(x) f(x) の変化率f'(x) の変化率 例 f'(x) は 「f(x) の変化率」 でしたが,f" (x) は 「f'(x) の変化率」 です。 f" (x)>0 であるということは, f'(x) が増加している」 つまり 「接線の傾 きが増加している」ということを意味します. このとき,下図のようにグラフ は下に膨らんだ曲線になります.この形状を下に凸といいます. f" (x)>0 ⇔f'(x) が増加する ⇒ 接線の傾きが増加する 下に凸小 のグラ 「f(x) 分を調 f" y=f(xc) f(エ 凸であ 情報 凸も 一方, f(x) <0 であるということは, 「f'(x) が減少している」 つまり 「接 線の傾きが減少している」ということなので,下図のようにグラフは上に膨ら んだ曲線になります. この形状を上に凸といいます. f'(x) <0⇔ f'(x) が減少する ⇒ 接線の傾きが減少する y=f(x) 上に凸 77

(1)の1回目の場合分けで、「0<a<2」になる理由がわかりません 「-1<a<2」じゃないんですか？

数学Ⅰ 第2章 2次関数 【教 p.71~73】 ■59. αを正の定数とするとき, 関数 y=-x2+4x+5 (-1≦x≦a) について 次 の各値を求めよ。 また, そのときのxの値を求めよ。 □ (1) * 最大値 □ (2) 最小値 → 例題 15

二次不等式の問題だけど、二次関数になおしていいんですか？

192 次の事柄が成り立つように, 定数 α, bの値を定め 基本例 113 2次不等式の解から不等式の係数決定 0000 (1) 2次不等式 ax2+bx+3>0の解が-1<x<3である。 (2) 2次不等式 ax2+bx-24≧0 の解がx≦-2, 4≦x である。 指針 2次不等式の解を, 2次関数のグラフで考える。 f(x)=ax2+bx+c (a≠0) とすると ① [a>0] [a<0] + ①f(x)>0の解が x <α, β<x (a<β) ⇔y=f(x) のグラフが,x<α, β<x のと a Bx きだけx軸より上側にある。 ⇔a>0 (下に凸), f(x) = 0,f(B)=0 ② f(x)>0の解が α<x<B ⇔y=f(x) のグラフが,a<x<βのときだけx軸より上側にある。 ⇔a<0 (上に凸),f(a) = 0,f(B)=0 (8-5) (0- (2) 不等号に等号がついているが,上の⇔の内容はそのまま使える。 >(n+1)(s+x) oct (1) 条件から, 2次関数y=ax2+bx+3のグラフは, (1) [a<0] 解答 1 <x<3のときだけx軸より上側にある。 もよ すなわち, グラフは上に凸の放物線で2点 (-1,0), (3,0) を通るから — -1 13 a< 0, a-b+3=0 ･･ ...... ①, 9a+36+3=0. ② ① ② を解いて α=-1,6=2 は、す これはα < 0 を満たす。 別解 -1<x<3 を解とする2次不等式の1つは (x+1)(x-3)<0 すなわち x2x-3<0 両辺に-1を掛けて x²+2x+3> 0 ax2+bx+3>0と係数を比較して α=-1, 6=2 (2)条件から,2次関数y=ax2+bx-24のグラフは, x<-2, 4<xのときだけx軸より上側にある。 すなわち, グラフは下に凸の して α <βのとき (xa)(x-3)<0 ⇔a<x<B ax2+bx+3>0と比較 るために、定数項を + にそろえる。 (2)

（2）と（4）で、aが0以下であるからのあとからわかりません。教えてください！

128 基本 例 74 2次関数の係数の符号を判定 2次関数y=ax2+bx+cのグラフが右の図のようになるとき, 次の値の符号を調べよ。 YA 上に凸 (1) a (2) b (3) c (4)62-4ac p.124 基本事項 2 (5) a+b+c (6) a-b+c 指針 グラフが上に凸か下に凸か, 頂点の座標, 軸の位置, 座標軸 との交点などから判断する。 b2-4ac (1) αの符号 a>0⇔下に凸 a < 0⇔上に凸 4a a+b+c (2)の符号 頂点のx座標 2a b - に注目。 -1 HO 1 b αの符号とともに決まる。 (3)cの符号y軸との交点が点 (0, c) C 2a 基 放物 れる 指 la-b+c (4) 62-4acの符号 頂点の座標 (5)a+b+cの符号 2-4ac に注目。 4a αの符号とともに決まる。 y=ax2+bx+cでx=1とおいたときのyの値。 y=ax2+bx+cでx=-1とおいたときのyの値。 Aa (6) a-b+cの符号 (*) y=ax2+bx+c (1) グラフは上に凸であるから a <0 b2-4ac 解答 (2) y=ax2+bx+c)の頂点の座標は (2) b =(x+2 4a b2-4ac 頂点のx座標が正であるから b 2a >O よって b 2a <0 (1) より, a < 0 であるから b>0 (3) グラフはy軸とy<0の部分で交わるから c<0 (4) 頂点のy座標が正であるから b2-4ac 4a ->0 (1)より, a<0 であるから b2-4ac > 0 (5)x=1のとき y=a・12+6・1+c=a+b+c グラフより, x=1のときy>0であるから a+b+c>0 (6)x=1のとき y=α・(-1)+b・(-1)+c=a-b+c グラフより, x<0のときy<0であるから a-h+c< A >0⇔AとBは <0 同符号。 <0⇔AとBは 異符号。 (4) グラフとx軸が 異なる2点で交わ から b2-ac> を導くことができ 詳しくは p.175 照。

最後のグラフを書くときの凸の見分け方教えてください。

こと (1) f(x) = -3.29.x f'(x) =3.x-6.x-9 -4≤x≤4 (2) =3(z+1)(x-3) おけるf(x) の増 減は下表のように y=f'(x) に + -1 3 + 48 なる. IC -4 ・1 3 4 f'(x) + 0 0 + f(x)-7675 -277-20 端点を含む増減表をかく f(-1)=5,f(3)=-27 極大値極小値 f(-4)=-76, f(4)=-20端点 よって, f(x) は x=-1で最大値 5 x=-4 最大 5 で最小値 -76 --20 -27 をとる. 「最小 -4 -1 34 ------76

全ての実数解になるとき、a＜0かつD＜0,と a＞0かつD＜0 の2パターンあると思うのですが、ひとつの場合しか考えていないのはどうしてですか

2次方程式 ax2+(a-1)x+a-1=0の判別式をDとすると D=(a-1)2-4-a (a-1) =(a-1)(a-1)-4a)=-(a-1X3a+1) この2次不等式の解がすべての実数であるための必要十分条件は x2の係数について >0 ① 81 であるか 86 かつ D<0 **** ② ②から よって +c は、 ゆえに 決ま -(4-1)(3a+1) < 0 (α-1)(3a+1) > 0 <-1/31<a ①と③の共通範囲を求めて -> ③ 022 ax その D- ③ a>1 ③ 187409 (S+α) 1 0 1 a 1-3

解説9行目から10行目の微分のやり方を教えてください🙇‍♀️

*213 上面の半径が10cm, 深さが20cmの直円錐形の容器が,その軸を鉛直にし 1729 て固定されている。 この容器に毎秒3cmの割合で静かに水を注ぐとき, 水 の深さが6cmになった瞬間の, 水面の上昇する速さと, 水面の面積の増加す る速さを求めよ。

ａの符号考えなくていいんですか？ それによってbイコールのａの一次関数が減少関数か増加関数か変わってきて、図も変わってくると思うんですけど、、、

15 2次方程式の解の配置基本的処理法- 2+ax+b=0の2つの異なる実数解α,Bが2<a<3-2<B<3を満たすとき,点(a,b) が存在する領域を平面上に図示せよ、 解の配置 本間は解の配置に関する典型的問題である。 その基本的処理法は, 方程式+αx+b=0に対して、f(x)=x+αz +bとおいて、 f(x) =0の実数解を=f(x)のグラフとェ軸との共有点の座標として とらえるという視覚的な (グラフで考える)方法 である。ここで,y=f(x)のグラフの考察のポイントは,(例題1000°~2°をふまえ) 0° 下に凸か上に凸か (本間の場合, 下に凸) 1° 判別式の符号 2° 軸の位置 3° 区間の端点での値 である、 本間のように, 0°ははじめから分かっていることが多い. 龍谷大文系) 方程式 3 (1) 2 (2) 2<x<2の範囲 ■解答量 f(x)=x+ax+bとおくと, y=f(x)のグラフ とx軸が2<x<3の範囲に異なる2交点をもつ条 件を求めればよい。 34 y=f(x)/ f(-2)>0 軸 f(3)>0 f(x) =0の判別式をDとすると,その条件は,次 の1°~3°がすべて成り立つことである。 右図の場 3 x -2 `1° D=α2-46>0 12° 軸について-2<- 1/2<3 13° 端点について: f(-2)>0かつf (3) >0 D>0 合も含ま れてしま う 軸の位置2°を考えないと,例えば ~f(-2) > 0 2<x<3で 解をもたない (3) > 0 -20 3 ここで, 1⇔ b<a² D>0 ......... ① 2°-6<a<4 ...... ② また,f(-2)=-2a+b+4, f (3) =3a+b+9 であるから, 3°⇔b>2α-4 ③ かつb>-3a-9......... ④ b=2a-4とb=-34-9の交点 は (-1,-6) したがって、題意の条件は、 ①〜④が同時に成り立つ ことで,これを満たす (a, b) の範囲は右図の網目部 分のようになる (境界は含まない)。 b b= 接する 例えば,b=b=20-4 注 境界線は放物線と直線であるが, 放物線と直 線は接している. 連立させると --(2a-4)= 0 -6 4 a :. α²-8a+16=0 一般に, 2次方程式の解の配置の問題において, 境界線に現れる放物線と直線は接している(はずな) ので, それに注意して図示しよう. b=2a-4 (-1,-6) b=-3a-9 ..(a-4)2=0 ..a=4 (重解) で確かに接している. いつも することを説明するのは難しい で省略するが、接することは ておこう) -15 演習題 (解答はp.60 ) 2次方程式+ (2a-1)+α -3a4=0が少なくとも1つ正の解をもつような実数軸の位置か、2層の の定数αの値の範囲を求めよ. (信州大工) パターンで場合分け