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7/282) 7/29(日)×
重要 例題 139 級数で表された関数のグラフの連続性
無限級数x+1+x *(1+x)2
x
x +......+
x
(1+x)"-1
+: について
(1) この無限級数が収束するようなxの値の範囲を求めよ。
(2) x が (1) の範囲にあるとき,この無限級数の和をf(x)とする。関数
のグラフをかき,その連続性について調べよ。
a=0 または |r|<1
a
指針 無限等比級数atartar+･･･ の収束条件は
収束するとき,和は
a = 0 なら0, a = 0 なら
1-r
基本119
解答
(2) まず, f(x) を求める。 次に, グラフをかいて, 連続性を調べる。
なお、関数 y=f(x)の定義域は,この無限級数が収束するようなxの値の範囲で
[めた範囲] である。
(1)この無限級数は,初項 x,公比
(
-10
-1
x
| (初項) = 0
1 の無限等比級数である。
1+x
(m
収束するための条件はx=0
-2
または-1<x<1
①
不等式①の解は,右の図から
1
1+x
-20<x
よって、 求めるxの値の範囲は
x-2,0≦x
-1 (公比) <1 ない
y=
1
のグラフと
1+x
直線 y= 1, y=-1の上
x<-2,0<xのとき
x
f(x)=-
(2) 和について x=0のとき f(x)=0
=1xても、0
1
1-
1+x
場合が起こり−2−1/
関係に注目して解く。
なお、①の各辺に
(1+x) (0) を掛けた
(1+x)<1+x<(1)
を解いてもよい。
(初)
1 ( 公比 )
関数y=f(x)の定義域は
・1
1 x<-2,0≦x で, グラフは右の図
連続性は定義域で考える
ことに注意。 −2≦x<l
のようになる。
0x
y=1+x
よって x<-2,0<xで連続;
f(x) は定義されないから
この範囲で連続性を書く
も無意味である。
x=0で不連続
