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基本例題 57
高次式の値
x=1+√2iのとき, 次の式の値を求めよ。
指針> x = 1+√2iをそのまま代入すると, 計算が大変である。 このようなタイプの問題では, 計
算が複雑になる要因を解消する手段 (次の手順 ①,②)を考える。
[ ① 根号と虚数単位をなくす]
x=1+√2iから
x=1+√2のとき, = 0 L1次以下
x=1+√2i を代入すると,右辺は0.Q(1+√2)+R(1+√2) となり,
1次式の値を求めることになる。
CHART 高次式の値 次数を下げる
解答
両辺を2乗して
x=1+√2iから x-1=√2i
整理すると
x2-2x+3=0
①
P(x) を x2-2x+3で割ると, 右のようになり
商x2-2x-5, 余り 2x+8
PULSA
である。よって
!
x=1+√2のとき, ① から
練習
x-1=√2i
この両辺を2乗すると (x-1)=-2 ← 根号とiが消える
[②] 求める式の次数を下げる]
(x-1)=-2を整理すると
x2-2x+3=0
P(x) すなわち x-4x3+2x2+6x-7をx²-2x+3で割ったときの商
Q(x), 余り R(x) を求めると,次の等式 (恒等式) が導かれる。
P(x)=(x2-2x+3)Q(x)+R(x)
P(x)=(x2-2x+3)(x2-2x-5)+2x+8
別解 ①まで同じ。 ①から
よって
ゆえに
よって
57
P(x)=x^-4x3+2x2+6x-7
P(1+√2i) =0+2(1+√2i) +8=10+2√2 i
x=
-√3i
2
0000
<x=1+√2iは①の解。
1-
検討参照。
(x-1)²=-2
x2=2x-3
x=x2.x=(2x-3)x=2x²-3x=2(2x-3)-3x=x-6
x=x3.x=(x-6)x=x2-6x=(2x-3)-6x=-4x-3
P(x)=(-4x-3)-4(x-6)+2(2x-3)+6x-7=2x+8
P(1+√2i) = 2(1+√2)+8=10+2√2i
基本8
次数を
1 -2 -5
1 2 3) 1 -4 2 6 -7
1381-2
3
-2-1
-2
4
-5
-5
RE
げる
章 剰余定理と因数定理
6
-6
検討 恒等式は複素数でも成り立つ
複素数の和・差・積・商もまた複素数であり,実数と同じように,交換法則・結合法則・分配法
則が成り立つ。 よって,恒等式に複素数を代入してもよい。
したがって, P(x)=(x2-2x+3)(x-2x-5)+2x+8にx=1+√2i を代入してもよい。
93
12 -7
10 -15
2 8
DE THIH
のとき, x+x4-2x3+x²-3x+1の値を求めよ。 p.94 EX41
2章
10
