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口
をまとめたものである。
製品X 製品Y 1日に仕入れ可能な量
原料α 2kg
5kg
20kg
原料 b 3kg
24 kg
標準プラン100共通テスト 問題50]
ある工場では2種類の製品 X,Yを製造している。 次の表は
・各製品を1kg 製造するのに必要な原料 α, b, c の量
・各原料の1日に仕入れ可能な量
各製品の1kgあたりの利益
原料について 04y12 すなわち
(1)①から1/3xy-1232x+4
よって、領域 Dは図の斜線部分のようになる。
ただし、境界線を含む。
よって、与えられた10個の点のうち、
(1,3),(2,3),(4, 2), (5, 2), 点 (7,1)
の5個が領域Dに含まれる。
(2) 1日あたりの2つの製品の利益の合計は6x+9y万円であ
る。
9
2
原料
4kg
12kg
6x+9y=k
④ とおくと,これは傾きが
切片
(7, 1)
利益 6万円 9万円
が 今の直線を表す 。
x, yは実数とする。 1日に製品 X を xkg, 製品 Y をykg 製造するとき, 1日に仕入れ
可能な量から、次の不等式①~③ が成り立つ。
9
+
アスナイy 20
①
直線 ④ が領域 D と共有点をもつようなkの値の最大値が
利益の合計の最大値である。ただし,各原料は1kg単位で使用するから, 領域Dとの
共有点は格子点に限る。 したがって, 直線 ④ が領域 D内の点 (7, 1) を通るとき,その
(1) 連立不等式①〜③の表す領域をDとする。 次の10個の点のうち、領域Dに含ま
れる点はオ 個ある。
⑤
切片
を1kg 製造するとき利益の合計は最大で, 51万円である。
次に, 原料が20kg しか仕入れられないとき 03x20
20
3
は最大となり,k=6・7+9・1=51 である。つまり、製品X を 7kg, 製品 Y
(0, 4), 1, 3), 点 (2,3), 点 (3,3), 点 (4,2),
(5,2), (6,2), 点 (7, 1), 点 (8, 1), (9,0)
(2) 各原料は1kg単位で使用するものとする。 1日あたりの2つの製品の利益の合計は
カナ キ(万円) であるから、 1日の利益の合計を最大にするには製品 X を
ク kg, 製品 Y をケ kg 製造すればよく, 利益の合計はコサ万円である。
ところがある日、 原料の仕入れ先から 「今日は,原料が20kg しか仕入れられな
kg,
い。」との連絡があった。 この日の利益の合計を最大にするには製品 X を シ
製品 Y を ス kg 製造すればよく, 利益の合計はセソ万円である。
(3) 各原料が100g単位で使用できる場合は, 1日の利益の合計を最大にするには製品 X
を タ kg 製品Y を チツテg 製造すればよく, 利益の合計は
トナ万
千円である。
解
各原料の1日に仕入れ可能な量の条件から
原料 α について 02x+5y 20 ....... ①
原料について すなわ
10
このとき, 連立不等式①、③, ⑤の表す領域は右の図の斜
線部分のようになる。 ただし,境界線を含む。 よって,直
線 ④が領域内の点 (5,2)を通るとき,その切片は最大と
なり,k=6・5+9.2=48 である。 つまり、 製品 X を 5kg,
製品 Y を 2kg 製造するとき利益の合計は最大で, 48万円
である。
(3)各原料が100g単位で使用できる場合は, 直線 ④ の傾き
3
と領域 D の境界線 2x+5y=20の傾き1/3について
21/31/3であるから,直線 ④は領域 D内の点 (8,
を通るとき,その切片は最大となり,
4
4-5
=6.8+9=55.2である。つまり、製品X を8kg,製
yt
20
品を 12/3 kg すなわち 800g 製造するとき利益の合計は最大で55万2千円である。
