この(2)を教えて頂きたいです。

444nは自然数とする。 合同式を用いて,次のことを証明せよ。 (1) n+n²+2は3の倍数でない。 (2) 5+1 +62n-1は31の倍数である。

数学Aの不定方程式です。 75x+64y=1を合同式を使った解き方を教えて下さい。

なぜ四角の式になるのですか？

8 第8章 整数の性質 *** 239 合同式の利用(3) くての自然数nについて, 9" +4***は5の倍数であること 明せよ. (2) すべての自然数nについて, 2+1+32n-1は7の倍数であること を証明せよ. 考え方 (1) 9=4 (mod5)であるから,合同式の性質 α=b" (modm)より, 94" (mod5) がいえる. (2) 2=9(mod7) に着目し,合同式の性質を利用できるように式を変形する。 03 01 P OF S 解 (1) +4n+1=9"+4•4" (1) 9²+ 94 (mod5) であり, nは自然数であるから, 9"=4" (mod 5) 1 de u がいえる. ①より, 9"+4•4"="+4・4" 1²+ 451 4^2 - 26271 (2 Bom) (Si bom) 1==1=²833 ここで,4"+4•4"=(1+4)・4"=5.4" より,== 9+4+4" 5.4"=0 (mod 5)=8+8=²8 よって すべての自然数nについて 9" +47 +1 は5の 8=¹***8 ($1 bom) b=* 倍数である. (2) 2+1+32n-1=pとおく. 2n+1=22.2"-1=4・2-100g 01 0001-000k また,32n-1=3.32n-bot) fatal00001① 32n-1)=(32)^-1 =3.32(n-1)=3.9-1 より, =9n-1 P=4・2"-1+3・9-1 ･･････① ここで,9≡2(mod7) より 9-12-1 (mod7)a=b(modm) , tborn したがって, ①より,P=4･21+3・2"-1 (mod7) a"=b" (modm) さらに,4･2"-1+3・2"^'=(4+3)・2^-1 =7.27-3より, P=0 (mod7) (0lbom)e= 以上から,すべての自然数nについて 2n+1+32n-1 は7の倍数である.

この問題の解法について質問です。　解答3の①の部分はどうしてこのようにおけるのでしょうか？　詳しく知りたいです。

201 注 例題 262 3で割ると余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る3桁の正の整数 のうち、最大のものを求めよ. 不定方程式の応用(1) 考え方 3で割ると2余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る整数をNとする。 (その1) Nは整数x, y, z を用いて, N=3x+2=5y+3=7z+4 と表せるの yz についての不定方程式ができる。 3で割ると2余る ⇔ 5 で割ると3余る ⇔ 7で割ると4余る⇔ これらからNの規則性を見つける. (その3) 問題文の「3で割る, 5 で割る, 7で割る」から,N=15g+356+ b,cは整数)という数を考え, 合同式 (p.440) を利用する. (その2) N+1は3の倍数 N+2は5の倍数 N+3は7の倍数

7行目の四角の部分はどこから来たんですか？

418 第8章 整数の性質 例題 239 考え方 解 *** 合同式の利用(3) 問合 su (1) すべての自然数nについて, 9" +4+1は5の倍数であることを証 明せよ. (2) すべての自然数nについて, 2n+1+32n-1 は 7の倍数であること を証明せよ. (mbom) FORT (1)9≡4(mod5) であるから, 合同式の性質 α"=6" (modm)より, 94" (mod5) がいえる. (2) 2=9(mod7) に着目し,合同式の性質を利用できるように式を変形する。 Move! 01 00 08 01 O(S) (1) 9"+4n+1=9"+4•4" 94 (mod5) であり, nは自然数であるから, 9"=4" (mod 5) 1 331 11 がいる. ① より 9 +4•4"=4"+4・4" anでくくっていbot) pposu 000S+2. ($1 bom) ==²8 33 ここで,4"+4•4"=(1+4)・4"=5・4"より,=8-88=8 (SI Bour) & 8 9"+4+4" 5.4" =0 (mod 5) 88=8+8==='8 g-g="8 (Sibara よって,すべての自然数nについて 9" +4" +1 は5の 倍数である. (2) 2+1+32n-1P とおく. (SIbom) 88 (SI born) pg 1003433+1 2n+1=22.2n-1=4.27-100m) また,32n-1=3・32n-2Fbom =3・32(n-1)=3・97-1 より, P=4・21+3・9-1 ...... ① 01 0001S0001 (med) (32)^-1 ⓘ32"-2 =9n-1 ここで,92 (mod7) より 9-12-1 (mod7) boma=b(modm) α"=6" (modm) (Orbom したがって, ①より, P=4.2" +3.2"-1 (mod7) さらに, 4・2"-' +3・2"-1=(4+3) ・2"-1) ED 7.2より P=0 (mod 7) (01bom) ep ,010,303 以上から,すべての自然数nについて 2+1+321 は7の倍数である. a-e=bid (nlodm)

この問題の合同式を使った解法について質問なんですが、最初のNはなぜこのように置けるのでしょうか？

S 整数の性員 例題262 考え方 3で割ると2余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る3桁の正の整数 のうち、最大のものを求めよ. 不定方程式の応用 (1) (その1) Nは整数x, y, z を用いて, N = 3x+2=5y+3=7z+4 と表せるの 3で割ると余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る整数をNとする。 y, zについての不定方程式ができる. 3で割ると2余る← 5 で割ると3余る 7で割ると4余る⇔ これらからNの規則性を見つける. 問題文の「3で割る,5で割る, 7で割る」から, N=15α+35万+ b,cは整数)という数を考え, 合同式 (p.440) を利用する。 (その2) (その3) N+1は3の倍数 N+2は5の倍数 N+3は7の倍数 答1 3で割ると2余り, 5で割ると3余り 7で割ると4余る 整数をNとおくと, N=3x+2=5y+3=7z +4 (x,y,zは整数) とおける. 3x+2=5y+3 より, 3x-5y=1 .....① .....1 ①の解の1つは、x=2, y=1 であるから 3×2-5×1=1 ...... ② 0304 3(x-2)-5(y-1)=0 ①-②より, したがって, 3(x-2)=5(y-1) り,x-2は5の倍数であり, kを整数とすると, x-2=5k, すなわち, x=5k+2 ...... ③ 3x+2=7z+4 3と5は互いに素よ また, ③より, 3(5k+2)+2=7z+4, すなわち, 24 15k-7z=-4 ...... ・④ ④の解の1つは,k=3, z=7 であるから, 15×3-7×7=-4 ...... ⑤ 5 ④ - ⑤ より, 15(k-3)-7(z-7)=0 ミ まず不定 3x+2= を考え 次に |3x+ を考

(1)の≡-(-2)^nとなるのがわかりません。 解説と計算過程を書いていただけるとありがたいです！ 回答よろしくお願いします🙇‍♀️

318nは自然数とする。 合同式を用いて,次のことを証明せよ。 (1) 26-532nは11の倍数 ヒント とすると (2) 4n+1+52n-1 は 21 の倍数

ユークリッドの互除法です いつも解く時は、○x+○y=1みたいに、右辺が1になってる場合が多いですが、今回は69です。 このままユークリッドの互除法でといてしまうと、連立方程式にしたとき右辺が0にならないと思います。 どういうふうに解けば良いですか？？

例題 71 不定方程式の整数解 COFFE 方程式 7x+17y=69 の整数解をすべて求めよ。 考え方 敕粉1(日) 日つかえないンキけ ユークリッドの

どこから15a+35b+21cが出てきたのですか？

考え方 解 1 例題234 整数の除法の利用 3で割ると余り, 5で割ると3余り, 7で割ると4余る3桁の正の整 数のうち,最大のものを求めよ. (その1) 題意を満たす数を書き並べて規則性を見つける. 3で割って2余る数 2,5,8,11,14, 5で割って3余る数 38 13,18,23, となり,この両方を満たす数は, たとえば8である. (その1)の考え方を数式で表してみる。 (その2) (その3) (その4) 不定方程式の考えを利用する. (p.401 例題 227 参照) 整数x, y, zを用いると 3で割って2余る数は, 3x+2 5で割って3余る数は, 5y+3 7で割って4余る数は, 7z +4 である. おき方を工夫して, p.398で学習する合同式を利用する. 「3で割って余りが 2, かつ5で割って余りが3である数」 188 37 ……① を書き並べると, 0001> 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, *100=1 ...... 4, 11, 18,25,32, 39,46,53, となり,共通な数として1番目に出てくるのが53で, 以降, 105 ごとに出てくるので,これらの数は, 53+105k (k=0, 1, 2, 3, ) と表せる. ここで,53+105k<1000 より, 947 k<- -=9.01･･･ 105 よって、求める数は, 3,8, 13,18, 23, 28, 33, 38, となり、共通な数として1番目に出てくるのは8, 2番目に 23,3番目に38であり, 以降, 15ごとに現れる. したがって, ① は, 「15 で割ると余りが8の数｣に一致する. いま,この数に「7で割ると余りが4の数」 を書き並べると,公倍数 8, 23, 38, 53, 68, 83, ...... 53+105・9=998 1 約数と倍数 *** 8:58+18 (p.412 に続く) それぞれ実際に書き 出してみる. 8,23,38, 15 15 15 15は3と5の最小 105は7と15の最 小公倍数 3桁の数だから 1000 より小さい。 411 整数の性質

これって合同式で示しても良いですか？

[A]岩手大学, [B] 大分大学|☆☆各10分 文化芸術大学 首都大学 (8) 農 (1) nを3で割った余りが1ならば2を3で割った余りは1である. (2)nが3の倍数であることはnが3の倍数であるための必要十分条件で ある. 2 [A] 自然数nに関する次の命題を証明せよ。