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本 例題 184
3次関数の極大値と極小値の和
αは定数とする。 f(x)=x+ax²+ax +1 が x=α, B (a</) を
る。 f(a)+f(B)=2のとき、定数αの値を求めよ。
CHART & SOLUTION
3次関数f(x)がx=α,β で極値をとるから、α.8は2次方程式(x) = 0
しかし、f(x) = 0 の解を求め、それを(w)+f(B)=2に代入すると計算が増
f(a)+f(8) はαとβの対称式になるから
まと
数学Ⅱ
p.283
のである。
の特徴
3次
20
αβの対称式 基本対称式α+β, αβ で表されるに注目して変形。・
なお、α+ ß,aβ は,f(x)=0 で解と係数の関係を利用するとαで表される。
解答
f'(x) =3x2+2ax+α
f(x) が x=α, β で極値をとるから,
まず、f(x)が極値を
f'(x) = 0 すなわち 3x2 +2ax+α=0
は異なる2つの実数解 α, β をもつ。
つようなαの範囲を
めておく(基本例題1
(1) と同様)。
①の判別式をDとすると D = a²
-=a²-3a=a(a-3)
D> 0 から
a<0, 3<a
②
また、①で,解と係数の関係により
2
a+b=-ga,ab=-
ここで f(α)+f(B)=α+ax²+aa+1+3+a2+aß +1
=(ω°+β)+a(a2+β2) + α (a +β) +2
=(a+B)-3aB(a+B)+α{(a+B)2-2aß}+α(a+β)+2
α³+B³
=(a+B)-3aB(a+B),
a2+B2=(a+B)^2aB
← α, β を消去。
+a(-a)-2a)+(-a)+2
-7a-4a²+2
(a)+f(B)=2から 12/17/20°+2=2
よって
2a3-9a2=0
すなわち a²(2a-9)=0
9
②を満たすものは
a=
inf. この問題では極大値
と極小値の和f(a)+f(B)
を考えた。 極大値(もしく
は極小値)を単独で求める
必要がある場合に、 極値の
x座標であるα (もしくは
β) の値が複雑な値のとき
は EX 148 を参照。
RACTICE 184Ⓡ
関数 f(x)=2x+ax²+(a-4)x+2の極大値と極小値の和が6であるとき、定数。
の値を求めよ。
[類 名城大
