Question

りんご

(1)はどのような発想から来ているのか教えて頂きたいです！

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整数係数のn 次方程式の有理数解 : 3次方程式, 有理数・無理数
7 a=
65
64
+1-
3 65
-1 とする. 次の問に答えよ.
64
(1)a は整数を係数とする3次方程式の解であることを示せ.
(2)a は有理数でないことを証明せよ.
アプローチ
(イ) (1) でするべき作業は
3
(v)(v
です.つまり,有理化
3
3
2 2)です.
[弘前大〕
(口) 有理数については6を参照してください。 (2)は,(1)でαを解にもつ方程
式を求めているので,その方程式が有理数解をもたないことを示せばよいで
しょう.ここで背理法を用いるのは6と同じです。
解答
(1) α =
3
65
3
65
64
+1,β = 64
-1とおくと
a = α- ß, aẞ = 3√65-1
1
-1=
=
Q3 - B3 = 2
となる.これを
64
03-β3=(a-B)3+3aß(a-β)
64
へ代入して
・a
4
2=3+3.1/1 ... 4a3+3a-8=0
①
よって, a は 4x3 +3x-80の解である.
(2)
a
が有理数であると仮定するとa>0 だからa = (ただしp, gは互
q
①に代入するとSO

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

a=1+√2を解にもつ(有理係数の)2次方程式をつくる、
というような問題は
やったことがあるはずですが、似た感じです

条件(有理係数)を満たすaの方程式を導きます

a=α-β (α,βは無理数)でα³=√ +1, β³=√ -1から
対称式が匂わされてα³β³=(有理数)、α³-β³=2
と、ここまで揃えば、α,βを消して、
aや有理数のみの方程式がつくれそうです

りんご

なるほど！納得しました！ありがとうございました！