例題29 放物線が切り取る線分の中点の軌跡
放物線y=x2+1 と直線 y=mx は異なる2点P, Qで交わるとする。
(1)定数 m の値の範囲を求めよ。
(2)m の値が変化するとき, 線分 PQ の中点Mの軌跡を求めよ。
考え方 (2) 中点M の座標を (x, y) として, x, yをm で表す。 xをmで表すときに、解と
係数の関係が利用できる。
解答
(1) x2+1=mx から
x2-mx+1=0
2次方程式 ①の判別式をDとすると
①
D=(-m)2-4・1・1=m²-4
放物線と直線が異なる2点で交わるのは, D>0のときであるから²-40
したがって m<-2.2<m答
(2)2点P,Qのx座標を,それぞれα,β とすると,α, β は, 2次方程式 ①の異な
る2つの実数解である。
よって, 解と係数の関係から
a+β=m
線分 PQ の中点M の座標を (x, y) とすると
a+β m
m2
x=
=
②,
y=mx=
...
③
2
2
2
②より
m=2x
よって, ③ より
y=2x2
また, (1) より,m<-2,2<mであるから
2x<-22<2x
すなわち x<-1, 1<x
したがって, 点Mは放物線y=2x2のx<-1, 1<xの部分にある。
逆に,この図形上のすべての点は, 条件を満たす。
したがって 求める軌跡は 放物線y=2x2 のx<-1, 1<xの部分圏
