3枚目の写真のGより下の部分の等号成立の部分が分かりません。どのように①、②、④を変形するとa=b、c=d、a+b/2、c+d/2となるのですか？いつもややこしい等号成立が解けないのでどなたか教えて欲しいです🙇🏻‍♀️

次の問いに答えよ。 2 □(1) 実数xyに対し(1+s)(1+y)/(1+) を示せ。また、等号が成立するの どのようなときか。 □(2) a,b,c,d を -1以上の数とするとき 2 (1+a)(1+8)(1+c)(1+d)s (1+a+b+c+d)* を示せ。また,等号が成立するのはどのようなときか。 ('08 大阪市立大商,経済,医,生活

2つの問題について等号がなりたつ条件の考え方がわからないです。 よろしくお願いします

3a>0, b>0のとき,下の不等式について,次の問い (a+b+29 a (1) 上の不等式が成り立つことを証明しなさい。 (2) 等号が成り立つ条件を答えなさい。 数理技能検定(2次)対策 【解き方 (1) (a+1)(b+1)=-ab+1 4 +5 ab - 展開する。 4 ab ->0 だから、 >06>0より, ab>0 相加平均と相乗平均の大小関係から, 式と証明 a>0b>0のとき. a+b -≧vab 2 ab+ ab 4≥2√ab. 4 ab =2.2=4 4 ab+ +54+5=9より ab (2)等号が成り立つのは, ab= 4 == ab すなわち, (ab)=4のときであり. (a+1)(6+14)≧9(証明終) a>06>0 だから, ab=2のときである。

1枚目の回答でも合ってますか?‬т т

□287 x≧0 のとき,次の問いに答えよ。 (1) 不等式 V1 + x2 ≦1+が成り立つことを示せ。 XOのとき (5)=1+×+¥ 等号成立はたひとき

1枚目の回答でも合ってますか?‬т т

□287 x≧0 のとき,次の問いに答えよ。 (1) 不等式 V1 + x2 ≦1+が成り立つことを示せ。 XOのとき (5)=1+×+¥ 等号成立はたひとき

画像のマーカー部分の式がどこから出てくるのかがわかりません。教えていただきたいです

4 基本 例 22 数列の極限 (5) ･･･ はさみうちの原理 2 nはn≧3の整数とする。 (1) 不等式2">1が成り立つことを,二項定理を用いて示せ。 il n 2 6 (2) lim- この値を求めよ。 n-∞ 2" dat 指針 (1) 2(1+1)” とみて, 二項定理を用いる。 00000 mil (a+b)"=a"+C₁a"-1b+nC₂a" b²++nCn-1ab1+br 基本21 (2)直接は求めにくいから、前ページの基本例題21同様, はさみうちの原理を用 いる。 (1) で示した不等式も利用。なお、はさみうちの原理を利用する解答の書き方 について,次ページの注意 も参照。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち 解答 検討 (1) n≧3のとき 2"=(1+1)"=1+Ci+nC2++nCn-1+1 21+n+1/2n (n-1)+/n(n-1)(n-2) 1 5 -n³+ 6 n+1>. n=1,2の場合も不等式 は成り立つ。 <2"≧1+nCi+nCz+nCs (等号成立はn=3のと き。) 1 よって 6 (2) (1)の結果から 0< 2n n' よって 6 2n n 6 lim 12700 n -= 0 であるから 2 lim- n (S) 各辺の逆数をとる。 <各辺に n² (0) を掛け る。 n2n =0 B はさみうちの原理。 はさみうちの原理と二項定理 はさみうちの原理を適用するための不等式を作る手段として, 上の例題のように、 二 理が用いられることも多い。 なお、二項定理から次の不等式が導かれることを覚えておく とよい。 x≧0のとき (1+x)"≥1+nx, (1+x)">111

この問題のかっこ2の水色のマーカー引いているところでどこからこれが出てきて何を表してるのかわからないので教えてほしいです！！！

32 第1章 式と証明 練習問題 9 (1) a≧060 のとき 33 第1章 a+b. (2)(1)より,A≧0, B≧0 であれば ≧vab 2 A+B≧2AB ...... ① が成り立つことを示せ. また, 等号が成り立つときはどういうときかを が成り立つ. 答えよ. × dto<I+do A= (2)a>0b>0 のとき b S =122. B=1m/m とおくと,a>060 より A0B0 であるから, a ①の不等式より a b b a a b + ≥2 a + ≧2. a b ba √ a b A+B≧2√AB であることを示せ.X すなわち b a 精講 不等式 A>B を直接証明することが難しい場合,両辺を2乗した 不等式 A'> B2 を証明するとよい場合があります. A≧0, B≧0 であることがいえれば, + ≥2 a b が成り立つ. コメント A'B' ⇒ A>B ...... (*) が成り立つので,AB2 が証明できれば,A>B は証明できたことになり ます((*)は一般には成り立たないことに注意してください A, B が0以上 の数ではない場合は, A=-2,B=1 のような反例が作れます). (2)は,(1)の事実をうまく使ってあげることで証明できます. 解答 (1)左辺(右辺 = (a+b)-(ab)20 をa,bの相加平均, 2つの数をかけてルートをとった vab をα, bの相乗平均といいます。 「平均」 といったとき, 私たちが頭に思い浮 かべるのは「相加平均」 ですが、これはx+x=a+b となるæの値であると 見ることができます. この式の足し算をかけ算に置き換えて,xxx=axb となるようなxの値を考えれば,それが 「相乗平均」というわけです. (1) では 2つの0以上の数α bに対して, 2つの数を足して2で割った a+b 2 見る -da a2+2ab+62 a+b 2 ≧vab --ab 4 a²-2ab+b² -d) α² +2ab+b2-4ab 4 <D を証明しましたが,これは「2つの (0以上の)数の相加平均は, 相乗平均より 大きくなる」ということを意味しています。 4 例えば, a=4, 69 のとき (a-b)2 「成り立 4 -≧0 (α-6 は実数より) 4+9 2 =6.5, √4-9-6 よって, (左辺) (右辺) 20,620 より(左辺) ≧0 (右辺) ≧0なので (左辺) (右辺) A≧0, B≧ であれば A'≧B2 ですので,確かに相加平均の方が大きくなっていることがわかりますね。 (2)で見たように,この式は, 両辺を2倍した ⇒ A≧B 等号が成り立つのは, (a-b)2=0 すなわち α = b のときである。こ a+b2ab の形で使われることが多いです. 等号成立が a=bであることもあわせて覚 えておくといいでしょう. この式は相加・相乗平均の不等式などと呼ばれます

この問題のかっこ2の水色のマーカー引いているところでどこからこれが出てきて何を表してるのかわからないので教えてほしいです！！！

32 第1章 式と証明 練習問題 9 (1) a≧060 のとき 33 第1章 a+b. (2)(1)より,A≧0, B≧0 であれば ≧vab 2 A+B≧2AB ...... ① が成り立つことを示せ. また, 等号が成り立つときはどういうときかを が成り立つ. 答えよ. × dto<I+do A= (2)a>0b>0 のとき b S =122. B=1m/m とおくと,a>060 より A0B0 であるから, a ①の不等式より a b b a a b + ≥2 a + ≧2. a b ba √ a b A+B≧2√AB であることを示せ.X すなわち b a 精講 不等式 A>B を直接証明することが難しい場合,両辺を2乗した 不等式 A'> B2 を証明するとよい場合があります. A≧0, B≧0 であることがいえれば, + ≥2 a b が成り立つ. コメント A'B' ⇒ A>B ...... (*) が成り立つので,AB2 が証明できれば,A>B は証明できたことになり ます((*)は一般には成り立たないことに注意してください A, B が0以上 の数ではない場合は, A=-2,B=1 のような反例が作れます). (2)は,(1)の事実をうまく使ってあげることで証明できます. 解答 (1)左辺(右辺 = (a+b)-(ab)20 をa,bの相加平均, 2つの数をかけてルートをとった vab をα, bの相乗平均といいます。 「平均」 といったとき, 私たちが頭に思い浮 かべるのは「相加平均」 ですが、これはx+x=a+b となるæの値であると 見ることができます. この式の足し算をかけ算に置き換えて,xxx=axb となるようなxの値を考えれば,それが 「相乗平均」というわけです. (1) では 2つの0以上の数α bに対して, 2つの数を足して2で割った a+b 2 見る -da a2+2ab+62 a+b 2 ≧vab --ab 4 a²-2ab+b² -d) α² +2ab+b2-4ab 4 <D を証明しましたが,これは「2つの (0以上の)数の相加平均は, 相乗平均より 大きくなる」ということを意味しています。 4 例えば, a=4, 69 のとき (a-b)2 「成り立 4 -≧0 (α-6 は実数より) 4+9 2 =6.5, √4-9-6 よって, (左辺) (右辺) 20,620 より(左辺) ≧0 (右辺) ≧0なので (左辺) (右辺) A≧0, B≧ であれば A'≧B2 ですので,確かに相加平均の方が大きくなっていることがわかりますね。 (2)で見たように,この式は, 両辺を2倍した ⇒ A≧B 等号が成り立つのは, (a-b)2=0 すなわち α = b のときである。こ a+b2ab の形で使われることが多いです. 等号成立が a=bであることもあわせて覚 えておくといいでしょう. この式は相加・相乗平均の不等式などと呼ばれます

この問題の(2）の解き方を教えてください🙇‍♀️

a,b,c,dは正の数とする。 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 また,等号が成り立つのはどのようなときか。 9 (1) 4a++≧12 +21 a (2) (1+1/)(/u/+/24 a C ≧4 d

写真の下線部でなぜ実数解をもつのかが分からないです

00 その 基本的 った た 重要 例題 122 2変数関数の最大・最小 (4) 実数x,yx+y2=2を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。 また, そのときのx,yの値を求めよ。 指針 [類 南山大 ] 条件式は文字を減らす方針でいきたいが、条件式x+y=2から文 字を減らしても, 2x+yはx, yについての1次式であるからうま くいかない。 そこで, 2x+y=tとおき, tのとりうる値の範囲を調べることで, 最大値と最小値を求める。 2x+y=t を y=t-2x と変形し, x2+y2=2に代入してyを消 去するとx2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。 t は実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。 実数解をもつD≧0 の利用。 基本 101 見方をかっ CHART 最大 最小 =t とおいて, 実数解をもつ条件利用 2x+y=t とおくと y=t-2x 解答 これをx2+y2=2に代入すると 整理すると x2+(t-2x)2=2 5.x²-4tx+t2-2=0 (2) このxについての2次方程式 ②が実数解をもつための 条件は、②の判別式をDとすると D≧0 ここで D=(-2t)-5(-2)=(f-10) D≧0 から t2-10≤0 これを解いて -√10 ≤t≤√10 t=±√10 のとき, D=0 で, ②は重解 x=-- 203 参考 実数a, b, x, yに ついて,次の不等式が成り 立つ (コーシー・シュワル ツの不等式)。 (ax+by)(a+b²)(x²+ y²) [等号成立は ay=bx] この不等式にα=2,6=1 を代入することで解くこと もできる。 -4t 2t を のとき②は t=±√10 2.5 もつ。t=±√10 のとき 2√10 x=± 5 5x2410x+8=0 よって (√5x2√2)=0 ①から y=± √10 (複号同順) ゆえに 5 よって 210 (10 x= y= のとき最大値 10 2/10 ==± /5 5 /10 5 ① から y=±- 5 2,10 √10 x=- y=- のとき最小値10 (複号同順) としてもよい。

相加相乗平均の時にもあった気がするのですが、等号は〜の時に成り立つ。どのような時にこれを言わなければならないのですか？そもそも言わないと行けないものなのですか？あと何の目的でこれを言っているのかも教えて欲しいです🙇

Think 例題 a, 226 定積分の不等式の証明 1 不定積分と定積分 427 bを定数とするとき,次の不等式を証明せよ。 {(x+a)(x+b)dx}={(x+2)}{\{(x+64x} 考え方 左辺と右辺を計算し, (右辺) (左辺) 20 を証明する。 解答 {(x+a)(x+b)dx=(x+(a+b)x+ab}dx ***** B a+b 3+ -x2+abx 2 1+a+b +ab ......① 3 2 ここで,①で6をαにおき換えると, f(x+a) dx=1/3+ +a+a² 同様に、①でαをbにおき換えると, S" (x + b)³ dx = 1 + b + b² f(x+b2dx=132 したがって, ①〜③より, {{(x+a) dx}{{(x+bidx}_{S (x+a)(x+b)dx} 62+6+ = (a²+a+13) (b²+b+13) - (ab+a+b+1)² 2 a 62 b 3 =a²b²+ a²b++ ab²+ab +33 +3 +3 + 1 12 2 9 {ab² + (a+b)² 1 + 1+ ab(a+b)+a+b+ ab 4 1 9 a2ab+b²(a²-2ab+b²) =1/20-6220 よって、 a- 12 (t)dt=a (E とおく {(x+a)(x+ +b)dx}={f (x+a) dx}{S (x+b)dx} (等号は a=6のとき成り立つ) S(x+a)(x+b)dxの 積分の結果を利用して、 計算量を減らしている。 第7 等号は a=b のとき 成り立つ. ■) 不等式 {Sf(x)g(x)dx} = [S(f(x)dx (g(x)dx] (a<b)をシュワルツの不等 式という (証明は数学ⅢIで学習する) (1) 任意の2次関数 f(x)=ax+bx+c について,次の不等式を証明せよ。 h.432 5