数Ⅰ組み合わせの問題です。 （2）の解説おねがいします！

基本 例題 30 整数解の組の個数 (重複組合せの利用) (1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。 00000 (2)x+y+z=10 を満たす正の整数解の組 (x,y,z)は何個あるか。 IC HART & THINKING 整数解の組の個数と仕切りの活用 p.294 基本事項 3基本29 (1) 直接数え上げるのは大変である。 問題を読みかえて, x, y, zの異なる3個の文字から 重複を許して7個の文字を取り出すと考えよう。すなわち 7個の○と2個の仕切りの 順列を考え,仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から順にx,y,zとする。 〇〇〇一〇〇一〇〇には (x, y, z)=(3, 2, 2) 例えば 一〇〇〇〇〇〇〇には (x, y, z)=(0, 2, 5) がそれぞれ対応する。 (2)x,y,z正の整数であることに注意。 (1)の考え方では0となる場合も含むから x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおき、0であってもよい X≧0, 0, Z ≧ の整数解の場合 ((1) と同じ) に帰着させ る。これは, 10 個の○のうち, まず1個ずつを x, y, z に割り振ってから, 残った7個の 1個ずつをx,y,zに割 ○と2個の仕切りを並べることと同じである。 また,別解のように, 10 個の○と2個の仕切りを使う方法でも考えてみよう。 要 次の条 (1) 0 CHA 大小 (1) 3 ら (2. そ 重 別 A (c 解答 (1) 求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個のを1列 に並べる順列の総数と同じであるからAPの道 9C7=9C2=36 (個) (2) x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと X≧0, Y≧0,Z≧0 このとき, x+y+z=10 から よって (X+1)+(Y+1)+(Z+1)=10 X+Y+Z=7, X≧0, Y≧0,Z≧0. 求める正の整数解の組の個数は, A を満たす 0 以上の整数 解 X, Y, Zの組の個数に等しいから, (1) の結果より 36個 (別解 10個の○を並べる。 このとき,○と○の間の9か所から2つを選んで仕切りを 入れ A|B|C ので、地点 としたときの, A, B, C の部分にある○の数をそれぞれx, y, z とすると, 解が1つ決まるから C2=36 (個) 別解 求める整数解の組の 個数は、3種類の文字 x, y, zから重複を許して7個取 る組合せの総数に等しいか 3H7=3+7-1C7=9C7 =gC2=36(個) x=X+1,y=Y+1, z=Z+1 を代入。 例えば 001 1000 (x, y, z)=(2, 5, 3) を表す。 (1)

至急！　［必ずベストアンサーつけます】 この問題の(２)を教えてください

基本 例題 30 整数解の組の個数 (重複組合せの利用) 0000 (1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。 (2)x+y+z=10 を満たす正の整数解の組 (x, y, z)は何個あるか。

（1）の考え方はこのメモのようでは間違っていますか？

170 第6章 順列組合せ 基礎問 夕 (1) 105 重複組合せ 区別のつかない球5個を A, B, C3つの箱に入れる (1) どの箱にも少なくとも1個の球が入る方法は何通りあるか. (2)1個も入っていない箱があってもよいとすれば,何通りの方 |精講 法があるか. 1万円札が5枚あるとき (これらは区別がつきません ),どの1万円 札がほしいという人はいません. 何枚ほしいというはずです。だか ら、区別がつかない球のときは個数で考えます。 A, B, C の箱に,それぞれ個, y個, 2個入るとすると, (1),(2)は,それ ぞれ,次の方程式の解 (x, y, z)の組の数を求めることと同じになります。 (1)x+y+z=5 (x≧1, y≧1, z≧1) (2) x+y+z=5 (x>0, y=0, z=0) 解答では,まず拾い上げてみて, あとで計算による解法を考えてみます。 解答 A,B,Cの箱にそれぞれ, x個, y個, 2個入るとする. (1)x+y+z=5 (x1,y1,z≧1) x=1,2,3 だから, (x, y, z)の組は次表のようになる. IC 1 1 1 2 2 3 y 1 2 3 1 2 1 よって, 6通り 90 規則性をもって 22 3 2 1 2 1 1 数え上げる (2) x+y+z=5 (x≧ 0, y≧0, z≧0) IC 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 22 22 33 34 45 y 0123450 1 23401230120 10 2 54321 04321 03210 210 100 よって21通り 注 この問題のように, 変数に関して条件が同じ(このことをx,y,2 は対称性があるといいます)であれば、次のように大小を仮定して数 えて,あとで並べ方を考える方がラクです.

（2）について なぜx =X＋1、y =Y＋1、z =Z＋1とおくのでしょうか？教えてくださいm(_ _)m

次の問いに答えよ。 p.111 (1) 方程式x+y+z=10を満たす,負で 整数の組 (x, y, z) はいくつあ (2) (1)の方程式を満たす,自然数の組 (x, y, z)はいくつあるか。 ?考え方 重複組合せの考え方で解ける。 (1)の場合,x,y,zの3文字なので3種類のも のの重複組合せを考えればよい。 (2)は(1)と同じであるが,x, y, zは1以上の整 数なので x=X+1,y=Y+1,z=Z+1とお くと (X+1) + (Y+1)+(Z+1)=10 X+Y+Z=7 となり,負でない整数の組 (X,Y,Z) を考え ればよい。 解き方 同 (1)3種類のものから重複を許して10個選ぶ重 複組合せであるので 3H10=12C10=12C2=66 (個) ...答 (2)x=X+1,y=Y+1, z=Z+1とおくと X+Y+Z=7 そして, x, y, zが自然数であることから X,Y,Zは負でない整数となる。 したがって, 3種類のものから重複を許し て7個選ぶ, 重複組合せとなる。 201 10-973H7=9C7=9C2=36 (個) E 答

場合の数の問題で、 (3)の別解のやり方の中でマーカーしたところを 丸と棒を使ってやる解き方で教えて頂きたいです。

練習 5桁の整数nにおいて, 万の位, 千の位, 百の位, 十の位、一の位の数字をそれぞれa, b, c, @ 34 d e とするとき, 次の条件を満たすnは何個あるか。 (1)a>b>c>d>e (1) 0,1,2, (2) a≥b≥c≥dze 9の10個の数字から異なる5個を選び, 大き (3) a+b+c+dte≦6 ←a>b>c>d>e から、 い順にα, b, c, d, e とすると, 条件を満たす整数nが1つ定 0 となる。 まるから (2)0, 1, 2,..., 10C5252 (個) 9の10個の数字から重複を許して5個を選び、 大きい順に a, b, c, d, e とすると, a≧b≧c≧d≧e≧0 を満た a=b=c=d=e=0の場合は5桁の整数にならないから、 求め す整数a, b, c,d, e の組を作ることができる。 このうち, 整数nの数は 10H5-1=10+5-1C5-1=uC5-1=2002-1=2001 (個) (3) A=α-1とおくと, a≧1であるから また, a=A+1であるから、条件の式は (A+1)+b+c+dte≦6 よって A+b+c+d+e≦5 ここで, f=5-(A+b+c+d+e) とおくと, A+b+c+d+e+f=5 420 ←○5個と9個の列 を利用して,C-1と してもよい。 注意 だけ が1以上では扱いにくい から、おき換えを行う。 ① 求める整数nの個数は,① を満たす 0 以上の整数の組 (A, b, c,d,e, f) の個数に等しい。 ゆえに、異なる6個のものから5個取る重複組合せの総数を考 えて 6H5=6+5-1C5=105=252 (個) 別解 まず, a≧0として考える。 f=6-(a+b+c+d+e) とおくと, f≧0で a+b+c+d+e+f=6 これを満たす0以上の整数の組 (a, b, c,d,e, f) は *A+b+c+d+e=k (k=0.1,2,3,4,5) と して考え HotsH +H+6H+5Ha+5H5 =Ca+sCi+C2+C3 +8C4+Cs 252 (個) でもよい。 ←αが0以上の場合から αが0の場合を除く方針。 6H6=6+6-1C6=11C611C5=462(個) また, a=0 のとき, 条件の式は b+c+d+e≦6 g=6-(b+c+d+e) とおくと, g≧0で b+c+d+e+g=6 これを満たす0以上の整数の組 (b,c,d,e, g) は 5H6=5+6-1C6=10C6=10C4=210 (個) よって, 求める整数nの個数は 462-210252 (個)

（2）と（3）を教えてください 答えは両方56個です

A-1-5 組み合わせ 13 [時間がある人はやってみよう] 次の条件を満たす整数の組 (41, 2, 3, 4, as) の個数を求めよ。 (1)0 <a<a<a<a<as<9 (2) 0≤aa≤az≤a≤as≤3 (3)ax+a2+aztastas≦3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5)

1枚目の(2)の問題で解説動画が7がスタートって言っててなんで7スタートかがわからないです 2枚目の(2)の問題で解説動画が6つをabcdにいれるって言っててなんで6つをabcdにいれるかがわからないです 数aの重複とかの問題です

重複組合せ:等式を満たす負でない整数の組, 正の整数の組 [712数学A 練習3] (1) 等式 x+y+z= 10 を満たす負でない整数 x, y, z の組は、全部で何個あるか。 (2) 等式 x+y+z=10 を満たす正の整数x, y, zの組は、全部で何個あるか。 解答 (1) 66個 (2)36 個

ここの問題を重複順列の公式に当てはめて解いたのですが答えが出ませんでした。何故でしょうか？教えて頂きたいです。

例 101 (1)x +y+z=10をみたす自然数解は何組あるか. (2)x +y+z=10をみたす負でない整数解は何組あるか. (3)x +y+z ≦10 をみたす負でない整数解は何組あるか. (4)x +y+z=10,x≧0,y≧1,z≧2をみたす整数解は何組あ るか. (S)

解説お願いします。 (2)の問題で、12Ｃ3になる理由が分かりません。 分かりやすく教えていただけると嬉しいです。

重複組合せ A, B, C, D の4種類の缶詰を合わせて9個買うとき, (1)それぞれの缶詰を少なくとも1個は買う場合, 買い方は何通りあるか. (2) 買わない缶詰の種類があってもよい場合, 買い方は何通りあるか。 種類ごとにまとめて並べる (産業無料) 同じ買い方か違う買い方かが一目でわかるように(買った缶詰を)整 理するとしたら, 多くの人が「左から A, B, C, Dの順に,同じ種類の缶詰をまとめて並べる」とする のではないか. 例えば,Aを3個, Bを4個, Cを1個, Dを1個なら AAABBBBCD となる. そして、 この文字列は, AとBの境, BとCの境, C とDの境が決まれば決まる (復元できる). AAABBBBCD ← 000100001010 つまり右のようにA~D を◯, 境を仕切りで表せば,9個の○と3個のの並びと対応する . (1)は, 仕切りが両端にはなく,かつ隣り合わない. (2) は並び順は自由である。 このような○とい の並べ方の総数を求める. 解答 (1)○を9個並べておき,○の間(図の↑)8か所 から異なる3か所を選んで仕切りを入れる. 仕切り で区切られた 4か所の○の個数を左から順にA, B, C,D の個数とすると,どの場所にも○は1個以上あ るので題意の買い方と対応する. よって, 求める場合 8.7.6 3.2 の数は仕切りの位置の選び方と同じで, 8C3= ↑↑ 00|000|0|000 A B C D =56(通り) (2) ○を9個を3個, 横一列に自由に並べ, で区切られた4か所の○の 個数 (○がないところは0個)を左から順にA, B, C,D の個数とする. この並べ方と題意の買い方は 000||00|〇〇〇〇 ABCD 買い方を決めれば仕切りの ←が決まる。 仕切りの位置 ば違う買い方と対応する。 12･11･10 対応するから,求める場合の数は, 9+3C3= =220 (通り) 3.2

(2)の問題です。 別解について なぜA=a B=b+1 … と置くことができるのですか？ 回答よろしくお願いします！

重要 例題 31 数字の順列 (数の大小関係が条件) 次の条件を満たす整数の組 (a, b, c, d) の個数を求めよ。 (0<a<b<c<d<8 CHART & THINKING (2) 0≤asb≤c≤d≤2 大小関係が条件となる数字の順列 読みかえて対応を考える (1) 条件を満たす4つの整数は,すべて異なることに着目して考えてみよう。 71 4個の数字を選び, それらの数字を小さい順に a, b,c,d に対応させる。 (2) (1) とは違い,条件の式に を含むので, 整数の組 (a, b, c, d) は (0, 0, (2,2,2,2) まで, 0, 1, 2の3個の数字から重複を許して4個を選べばよい。 それらの数字を小さい順に a,b,c,d に対応させる。 (重複組合せ) 重複組合せの考え方を,どう利用したらよいだろうか? 066 別解として,(1)の考え方を利用する方法がある。 A=a, B=6+1, C = c +2, D = d+3 とすると, (a, b, c, d)=(0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (2, 2, 2, (A, B, C, D)=(0, 1, 2, 3), (0, 1, 2, 4), (0, 1, 3, 4), (2, 3, 4, するから,(A,B,C,D)はOA<B<C<D≦5 を満たす整数の組を考え (1) 1, 2, 3, 7の7個の数字から異なる4個を選び, 小さい順に a, b, c, d とすると, 条件を満たす組が1つ決 ると伺えて まる。 よって、求める組の個数は 7C4=7C3=35 (個 (2)0,1,2の3個の数字から重複を許して4個を選び, 小さ い順に a,b,c,d とすると, 条件を満たす組が1つ決まる。 よって、求める組の個数は 3+4-1C=C4=15 (個) A=α, B=b+1, C=c+2, D=d+3 とおくと, 条件0≦a≦b≦c≦ds2 は, 0≦A<B<C<D≦5 と同値 である。 201 よって, 0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字から4個の数字を 選べばい したがって 6C4=6C2=15 (個) 4個の りの順 0 (0, 1