Question

澪來

（2）と（3）を教えてください
答えは両方56個です

A-1-5 組み合わせ
13 [時間がある人はやってみよう]
次の条件を満たす整数の組 (41, 2, 3, 4, as) の個数を求めよ。
(1)0 <a<a<a<a<as<9
(2) 0≤aa≤az≤a≤as≤3
(3)ax+a2+aztastas≦3, ai≧0 (i=1,2,3,4,5)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

GDO

解説が少ないので、不明点あればコメントください。
(2)一般解は複雑になるので、積み上げて計算します
樹形図を膨らませるようにa₄から計算していきます。

最初にa₄=0,1,2,3 のときのa₅の組合せを求める
a₄=0 のとき 4通り(a₅=0,1,2,3の4通り)
a₄=1 　〃　 3通り(a₅=1,2,3)
a₄=2 　〃　 2通り(a₅=2,3)
a₄=3 　〃　 1通り(a₅=3)
a₄の結果を使いa₃=0,1,2,3の場合を求める
a₃=0 のとき 10通り(a₄=0,1,2,3の合計)
a₃=1 　〃　 6通り(a₄=1,2,3の合計)
a₃=2 　〃　 3通り(a₄=2,3の合計)
a₃=3 　〃　 1通り(a₄=3)
同様にa₂を求める
a₂=0 のとき 20通り(a₃=0,1,2,3の合計)
a₂=1 　〃　 10通り(a₃=1,2,3の合計)
a₂=2 　〃　 4通り(a₃=2,3の合計)
a₂=3 　〃　 1通り(a₃=3の合計)
最後にa₁を求める
a₁=0 のとき 35通り(a₂=0,1,2,3の合計)
a₁=1 　〃　 15通り(a₂=1,2,3の合計)
a₁=2 　〃　 4通り(a₂=2,3の合計)
a₁=3 　〃　 1通り(a₂=3の合計)

合計：35+15+4+1=56

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(3)重複組合せを利用して計算します
a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=k (k=0,1,2,3)を考える

例、n=5：〇、k=3：〇
|||||〇〇〇 … この組合せになるので、₇C₃（₅₊₃₋₁C₃）=35
（重複組合せ ₙ₊ₖ₋₁Hₖ）

a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=k　(k=0,1,2,3)の組合せは
₄₊ₖCₖ=₄₊ₖC₄=(k+4)(k+3)(k+2)(k+1)/(4・3・2)

k=0,1,2,3を合計すると、
　₄C₀+₅C₁+₆C₂+₇C₃=1+5+15+35=56