130 連立型漸化式
a=2,b=1, an+1=2a+bn (n≧1) ...... ①,
bn+1=an+2bn (n≧1) ...... ② をみたす数列{an},{bn}がある。
(1) an+bn=C とおいて, 数列{cn} の一般項 Cn を求めよ.
(2) an-bn=dとおいて,数列{d} の一般項 d を求めよ。
(3) an, bn をnで表せ.
精講
(1) an+ón を C とおくように指示されていますが,このとき
a+b を作るのではなく, 与えられた漸化式の一番大きいところ
つまり, an+1, bn+1 をみてgn+1+bx+1を作ろうと考えます。
すなわち, ①+② を作ります。
(2) ①②を作ります。
(3) an+bn=Cn, an-bn=dn より, an=-
=/12/2(cm+dn), bn=1/2(cm-dn)です。
Cn
解答
(1) ①+② より
an+1+bn+1=3(an+bn)
.
Cn+1=3Cn
ここで,C=a+b1=3 だから,
数列{C} は初項3, 公比3の等比数列である.
よって, Cn=3.3n-1=3n
(2) ①②より
(an+1+bn+1=C+1
an+1-bn+1=an-bn
よって, dn+1=dn, d=a-b=1 だから,
lan+1-bn+1=ds+1
|dn+1=1d
数列{dn} は,初項1, 公比1の等比数列である.
∴. dn=1・1"-l=1
注 dn+1=dn より,dn=dn-1==dとしてもよいし、
dn+1=dn+0 と考えて,公差 0 の等差数列と考えてもよい。
an+bn=3"
an-bn=1
......(3
・④
