総合 nを正の整数とし,次の条件(*)を満たすxについての次式Pn(x) を考える。
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(*) すべての実数0に対して cosno=Pn(cos0 )
(1) n≧2のとき,Pn+1(x) をPn(x)とP-1(x) を用いて表せ。
(2) Ph(x)のx”の係数を求めよ。
(3)coso=
1
10
とする。 101000 cos” (5009) を10進法で表したときの, 一の位の数字を求めよ。
-18-48) [早稲田大
→本冊 数学B 例題 55
(1) cos(n+1)0=cos(n0+0)=cosnocoso-sinnQsin O
(←加法定理
cos(n-1)0=cos(no-0)=cosnocos0+ sinn0sin O
よって
cos (n+1)0+cos (n-1)0=2cos nocoso
1 (1+税)-
ゆえに
cos(n+1)0=2cosocosn0-cos(n-1)0
-
よって
Pn+1(x)=2xPn(x)-P-1(x) (n≧2) ...... ①
(2) Pi (x)=x
cos 20=2cos20-1 から
a1=1, a2=2+
また, ① において,最高次の項の係数を比較すると
an+1=2an (n≧2)
これらと① から, Pn(x)は帰納的に整数係数の次式といえる。
Pn(x) の最高次 x ” の係数を an とすると
P2(x)=2x2-1)
+
P2(x):2次式,
ゆえに, 数列{an} は初項 1,公比2の等比数列であるから
an=1•2"-1=2n-1
30G
←P+1 (cos0)
=2cosQPn(cose)
-PR-1(cos)
n-
←P, (x):1次式,
P2(x):2次式から,
P3(x)は3次式である。
P3(x) : 3次式から,
P4 (x)は4次式である。
==
(S)
100
