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基本 例題 86 2変数関数の最大 最小 (1)
(1)x+2y=3のとき, 2x2+y2 の最小値を求めよ。
(2) x≧0、y≧0, 2x+y=8のとき,xyの最大値と最小値を求めよ。
BROHOV
13639077
H
指針 (1) のx+2y=3, (2) の2x+y=8のような問題の前提となる式を条件式という。
4300
CHART 条件式 文字を減らす方針で 変域に注意
条件式がある問題では, 文字を消去する方針で進めるとよい。
(1) 条件式x+2y=3から
x=-2y+3
2(-2y+3)^2+y2となり,xが消えて1変数yの2次式になる。
これを2x2+y2に代入すると,
→基本形α(y-b) +αに直す方針で解決!
(2) 条件式からy=-2x+8としてyを消去する。 ただし、次の点に要注意。
HARI 消去する文字の条件 (y≧0) を,残る文字(x) の条件におき換えておく
解答
(1)x+2y=3から x=-2y+3
ゆえに
2x2+y2=2(-2y+3)^+y²=9y²-24y+18
よって, y=
of si-01/28y+(1/4)-9.(14) 2+18=9(y-123) +2
で最小値2をとる。
4
3
このとき, ①から
したがって x=
1
3
......
=-2.
4
3
y=1/30 のとき最小値 2
①
ゆえに x≤4
x=-
_2) 2x+y=8 から
y=-2x+8
y≧0であるから -2x+8≧0
+3=
(1)
......
x≧0との共通範囲は 0≤x≤4
また xy=x(-2x+8)=-2x²+8x
=-2(x2-4x+2)+2・22
......
=-2(x-2)^+8
②の範囲において,xy は、x=2で最大値8をとり,
x = 0, 4で最小値0 をとる。
①から,xの値に対応したyの値を求めて
(x,y)=(2,4) のとき最大値8
(x,y)=(08), (40) のとき最小値 0
<x を消去。y=-x+3 と
[熊本商大]
して, y を消去すると,分
数が出てくるので,代入後
の計算が面倒。
重要 118
<t=g(y-1/28 ) 2+2のグラフ
lt=9
は下に凸で,yの変域は実
数全体頂点で最小。
(x,y)=(1/23 1/28) のよう
に表すこともある。
xy=tとおいたときの
t=-2(x-2)^+8 (0≦x≦4)
のグラフ
ta
最大
18--
最小
O 2 4₁
d
1
最小
練習
(1) 3.x-y=2のとき, 2x2-y2 の最大値を求めよ。
36 (2) x≧0 y≧0,x+2y=1のとき, x+yの最大値と最小値を求めよ。
x
T8
139
18 10 2次関数の最大・最小と決定
3章
10
