数学IIIの積分の問題です。 解き方が分からないので教えて欲しいです🙇‍♀️

4aを正の定数とする。 0 を媒介変数とする曲線 [x=acos30 (0≤0≤2π) ly=asin30 によって囲まれた部分の面積を求めよ。 - a ya - a a x

なんのために最後に漸近線を求めているのですか？

重要 例題 78 z を 0 でない複素数とし,x,yをz+ 1 2 =x+yi を満たす実数,αを0<a</ を満たす定数とする。z が偏角 αの複素数全体を動くとき、xy平面上の点 (x, y) の軌跡を求めよ。 *U*2301 [類 京都大] 重要 26 解答 指針偏角αの範囲が条件であるから、極形式z=r (cosatisina) (0) を利用。 ■iの形に表すことにより,x,yをそれぞれr, aで表す。 12+- 2 つなぎの文字を消去 して,x,yだけの関係式を導く。なお、>0や0<a< より, xの値の範囲に制限がつくことに注意。 ゆえに TOADE z=r(cosatisina) (x>0,0<a</1/2)とすると ゆえに 0<a</であるから よって r+ cos a' - 1 (cosa + sina) == ² ( cos x r= 2 COS r 2 -=1から 練習 ③78 1 z+ -=r(cosa+isina)+¹(cosa-isina) 2 * = = =(r+ + )cosa+i(r— — )sina cosa, y=(r-1) sina x=(x+1/27) 1 x 2 cos a x² Acos2a 双曲線 w=z+. =r+ r a² cos a よって x≧2cosa また, >0 から ゆえに したがって 求める軌跡は osax + cos a>0, sin a>0 y sina y 表す図形 (2) r sin a したがって 4sin² a ここで, >0であるから, (相加平均) (相乗平均) により x²y² COS α -(tana)x<y<(tana)x 4 cos' a 4sin'α ;-). - / - ( 1 x =2 2. 等号はr=1のとき成り立つ。 _____________> +___>0, sina sin a COS α sina sina)=1 COS α COS α 63401 -=1のx≧2cosα の部分 < 絶対値や偏角αの範囲 に注意。 1 2 =-{cos(-a)+isin(-a)} ◄2+1/2=x z+ =x+yi 検討 第4章で学ぶ極 限の知識を用いて, y が実数 値全体をとりうることを調べ ることもできる。 lim m(x-¹)=∞, に lim (-1)=-∞であり, sinα> 0から lim y=-∞, limy = ∞ r+0_ →0 点 (x, y) の軌跡は次の図の 部分。 (0) y=(tana)x を求めている -2cosa / 2cosa y=-(tana)x 0 でない複素数zが次の等式を満たしながら変化するとき, 点z+-が複素数平 面上で描く図形の概形をかけ。 (1) |2|=3-(2) |z−1|=|z-i| 139 2章 10 媒介変数表示

なんのために最後に漸近線を求めているのですか？

重要 例題 78 w=z+ a² 0でない複素数とし,x,yをz+ 1 2 を満たす定数とする。 zが偏角 α の複素数全体を動くとき、xy平面上の点 (x,y) の軌跡を求めよ。 時で [類 京都大] 重要 26 指針偏角αの範囲が条件であるから,極形式z=r(cosa+isina) (0) を利用。 1を の形に表すことにより,x,yをそれぞれr,αで表す。 1 z + 解答 Iz=r(cosa+isina) (r>0, 0<a<- >60120 * ゆえに 0<a < 1/2 よって つなぎの文字を消去して, x, yだけの関係式を導く。 なお,00<a</ より、xの値の範囲に制限がつくことに注意。 HOOVER 練習 78 1 z+ -=r(cosa+isina)+(cosa-isina) r+ = (r++)cosa+i(r— — )sina r= cosa, y=(r1) sina x=(y+/-/- であるから r COS α x 双曲線 x ゆえに COS α r 2 x y x 1² ² = 1 +5 +²1² (cosa + sina) (cosa = 2 COS x #601 cos a x≧2cosa -=rt π <<//) とすると よって また,0から ゆえに したがって、求める軌跡は 表す図形 (2) + 4 cos² a cos a>0, sin a>0 y sin a r y sina 図 x2 したがって 4 cos² a 4sin² a ここで,y>0であるから、(相加平均) (相乗平均) により 1 + 122 √/1.7 CAGLEDEYSET =x+yi を満たす実数,αを0<a< π x cos a -(tana)x<y<(tana)x 4sin'a + sinα =2 y > 0, x COS α T y sin a y sin a 等号はx=1のとき成り立つ。 J=1 x y ->0 sin a COS Q -=1のx≧2cosα の部分 絶対値や偏角αの範囲 に注意。 700円 =—-{cos(—a)+isin(—a)} ◄z+1=x+yi r38670 10. 面上で描く図形の概形をかけ。 (1) |2|3|z-1|=|z-i| 検討 第4章で学ぶ極 限の知識を用いて, yが実数 全体をとりうることを調べ ることもできる。 lim(r-1)=∞, lim 1 (₁ - ²) = -₁ ∞であり、 +0 sinα> 0から 17 新東線 limy=-∞, limy=8 r+0 点 (x,y) の軌跡は次の図の を求めている T2= -2cosa yay=(tana)x (1) -------- 1 0 でない複素数zが次の等式を満たしながら変化するとき, 点2+ / 2cosa y=-(tana)x が複素数平 139 2章 10 媒介変数表示

最後の行の 15X-6Ｙ=-12 の -12ってどこからきましたか？

x=x+a+1 の交点をPとする。 α の値をいろいろ変化させると､ 5 定点の通過 (2) 媒介変数① 2直線y= --x+a =x+12/23a+1 (2) Pの描く直線の式を求めなさい。 a-25a+2 合は、一定の直線になる。このとき次の問いに答えなさい。 (1) 点Pの座標をαで表しなさい。 茜 (1) 2直線の式から連立方程式を解いて、 ・1/2x+ax+2a+1代入法 (2)(1)より=-2aについて解くと,a=3x+2 6y-2 u=50+2をαについて解くと,a=- 6 66- CINA (答) P 点P (a-2 Sa+2) 6 αを消去 (このαを媒介変数という) よって、 a=3x+2=by-2より15c-6y=-12,5x-2y=-4 (答) 5x-2y=-4 5 つなげる 例題 問 10 ら (1) (2) 解答

至急です y=-(-x+2)^2+1からどうしてy=-(x-2)^2+1となるか教えてください

Q で表 ! 基本例題 100 媒介変数と軌跡TON aは定数とする。 放物線 y=x2+2(a-2)x-4α+5 について αがすべて の実数値をとって変化するとき, 頂点の軌跡を求めよ。 0808- 基本101, 重要 1 CHART ISOLUTION 解答 放物線の方程式を変形すると y={x+(a−2)}^-α²+1 x,yが変化する文字 αを用いて表される点の軌跡 つなぎの文字を消去して,x,yだけの関係式を導く 頂点の座標を(x,y) とするとx=(αの式), y = (aの式)の形に表される。 ここから,つなぎの文字αを消去して,xとyの関係式を導く。･････!! 放物線の頂点を P(x, y) とすると x=-α+2 ① y=-a²+1 (2) ...... ①から a=-x+2 これを②に代入して y=-(-x+2)+1 したがって 求める軌跡は 放物線y=-(x−2)2 +1 YA 1 0 1 I -3a=2 1 2 3 MOT a=0 |基本 99 a X a=-2 ty={x+(a−2)}^ -(a-2)²-4a ◆放物線y=a(x- の頂点の座標は ( つなぎの文字 α

解答の1行目の下線を引いた部分の操作についてです。 分母≠0であるはずなのに、分母を払った式にt≠±1という条件がついてないのはなぜですか？

66 練習 27 tを媒介変数とするとき, 次の各組が表す図形を求めよ。 4(1-t²) 2(1+t) (1) x= (2))x= 1+ t², y = 2t 1+t² 1-t², y = 4t 1-t² p.75 問題27

オレンジの部分はなぜ除くのでしょうか？お願いします🙏

98 基 本 例題 61 曲線の媒介変数表示(3) t は媒介変数とする。 次の式で表される図形はどんな曲線を描くか。 4t (1) x= 1+ t² p.94 基本事項1. 基本 59 1+ t², y: CHART OLUTION (1) x= 1 1+1² ①を②に代入して x=0 であるから t 1+t2 ・①, y= 媒介変数で表されている曲線 (分数式) 媒介変数を消去して, x, yだけの式へ ...! t=(x,yの式),f2=(x,yの式)として を消去する。 ただし, 除外点があるの で要注意。 例えば, (1) では点(0, 0) y=tx 1=2 20 これを①に代入して t を消去すると t 1+12 整理する x(x2-x+y2)=0 x=0 であるから x2-x+y2=0 よって円(x-212) 2+²=1/14 ただし,点(0,0)を除く。 4t 1+t² x=-1 であるから 1-t² (2) x=17/1/2から (1+t)x=1-t2. 1+t² よって (1+x)t2=1-x 1²_1-x 1+x _1+1²y 1+t2 4 (2) x= 1=- ② とする。 -6a6l£ x= 1-t² 1+ t², また, y= から = 2(1+x) y 図] ①,②からtを消去して12(1+x)-1/7x ゆえに 4x2+y2=4 よって 楕円x2+2=1 ただし,点(-1,0)を除く。 1 1+ y y= "E 20① ...... 2式を比較して 1 y=t• ₁+t²= -= tx とみることがポイント。 inf. 恒等式 (₁ + F ) ² + (₁ + p)² 1+t2 1 = 1+t² を利用する解法もある ( 解答編 p.71 PRACTICE 61 別解 を参照)。 ◆円の方程式に x=0 を 代入すると y=0 ◆この式にx=-1 を代 入すると 0=2 となり, 不合理である。 1①から 1+F²=1+1= x= 1 + x 1-x 2 楕円の方程式にx=-1 を代入すると y=0

少し長い問題ですが、自分が分からない部分を丁寧に解説してくれると助かります！ （1枚目が問題、2,3枚目が解答の画像です） 簡単に言うと【媒介変数で表された曲線C】を【y＝xを軸に360度回転させてできる】図形の体積を求めようという問題です。 どのように解き進めていくか... 続きを読む

原点を 0 とする座標平面において, 媒介変数 0 (0 ≦0 ≦ 2) によって表された曲 C: x=(1+cos0) cos0 y = (1 + sine) sin 0 について, 以下の問いに答えなさい。 点Pを曲線C上にとる。 Pから直線y=xへ垂線PHを下ろし, PH を半径とす る円の面積をSとする。 ただし, P が直線y=x上にあるときPとHは同一点 であり S = 0 とする。 また, (1) で求めた2つの接線において, x座標が負の接点 をQとして, QH の長さをんとする。 ただし, QとHが一致するときはん=0と する。 Q(1-12 1-12 2.2 (2) Pの座標を (X,Y) とする。 X, Y を用いて Sとを表すと X+Y-1+√₂ である。 S (き) (X-XX ₂ 2 = h (<) = (3) 曲線Cによって囲まれた部分を直線y=xの周りに1回転させてできる立体の 体積V を求めることを考える。 VはSをんについて積分すれば得られるが,置換 積分法によってSを0について積分しても計算できる。 これより V= (け)を導く過程も所定の場所に書きなさい。 (け) となる。 なお,

例題190に関して、グラフの対称性を利用して範囲を絞っていることはわかるのですが、その際θ＝0およびπにおいてなぜ微分可能なのでしょうか。 188と同様の性質から、範囲を絞っていると推測しているのですが、188で x＝2πのときに微分ができないならば、190のθ＝πについて... 続きを読む

重要 例題 190 関数のグラフの概形 (4) 媒介変数表示 曲線 x=cos o y=sin20 指針 基本は 0の消去。 y'=sin220=4sin²0cos²0=4(1-cos2d) cos²0 から,y'=4x2(1-x となり、前ページのようにして概形をかくことができる。 しかし、媒介変数が簡単に消去できないときもあるので,ここでは, 媒介変数の変化に伴うx, y それぞれの増減を調べ 点 (x,y) の動きを追う 方針で考えてみる。 まず, 曲線の対称性を調べる。 解答 cos 0, sin 20 の周期はそれぞれ 2π, πである。 x=f(0), y=g(0) とすると, f(-8)=f(0),g(-8)=-g(0) であるから, 曲線はx軸に関して対称である。 したがって, ① の範囲で考える。 ① の範囲でf'(0) = 0 を満たす 0 の値は 0 ƒ'(0) f'(0) = - sine, g'(0) = 2cos20 g'(0) y (グラフ) 0 (−z≧0≦x) の概形をかけ (凹凸は調べなくてよい)。 0 ﾐ T _g' (0) = 0 を満たす0の値は ① の範囲における0の値の変化に対応したx,yの値の変化は, 次の表のようになる。 YA 1 1 + + 0 ↑ y グラフ TC 4 1 √2 0 1 : ↑ ↓ 7 I π 2 ← 20 - ← ↓ 20 ↓ : ← ← ✓ 0=0,π ( ✔) 0= |3|4|- π 3 4' 47 π (*) 1 √2 0 -1 ⠀ + π ← -1 ↑ よって, 対称性を考えると, 曲線の概形は、 右の図。 意 1. 表の←はxの値が減少することを表す。 また, ↑ ↓ はそれぞれyの値が増加, 減少することを表す。 意 2. グラフの形状を示す矢印 に応じて、下の表のようになる。 0 + 0 基本 187,188 , , は x,yの増減 (*) 0=α に対応した点を (x,y) とすると,=-q に対応した点は(x,y) よって, 曲線はx軸に関し て対称である。 ゆえに, 0≦O≦に対応した部分と TOO に対応した部分 は,x軸に関して対称。 8= 1 √2 8=7 0 2 8= 4 XX IT 8=

(3)の答えの答えになるまでの途中式をお願いします。

基礎問 260 第8章 ベクトル 167 球と直線 座標空間内に,球面 C:x'+y^+z'=1 と直線があり、直線 1 は点A(a, 1, 1) を通り, z=(1,1,1)に平行とする.また、 α≧1 とする. このとき, 次の問いに答えよ. (4) (1) Z上の任意の点をXとするとき,点Xの座標を媒介変数tを 用いて表せ. (2) 原点Oから1に下ろした垂線とlの交点をHとする.Hの座 標をαで表し, OH をαで表せ. (3) 球面Cと直線lが異なる2点P, Qで交わるようなaのとり うる値の範囲を求めよ. (4) (3) のとき,∠POQ=90° となるαの値を求めよ. 精講 点A(xo,yo, zo) を通り, ベクトル=(p,q,r)に平行な直 線上の任意の点をXとすると, tu OX = (xo,yo, zo)+t(p,q,r) と表せます。 (2) Hは上にあるので, (1) を利用すると, OH がαと tで表せます. そのあと, OH･Z = 0 を利用して,t をαで表します。 (3) 球面Cと直線lが異なる2点で交わるとき, OH < 半径 が成りたちます。 POQ=90°をOP･OQ=0 と考えてしまっては, タイヘンです. それは,PとQの座標がわからないので, OP, OQを成分で表せないから です。座標やベクトルの問題では, 幾何の性質を上手に使えると負担が軽く なります。 解答 (1) OX=OA+tu=(a, 1, 1)+(t, t, t) =(t+a, t+1, t+1) .. X(t+a, t+1, t+1)