393の（1)の解き方が分かりません💦 誰か教えてください🙏

p.189 例7 2 . 189 例7 x ■ 例題 1 題 2 考え方 解答 導く。 c+c (a≠0) とおいて, 与えられた等式から, xについての恒等式を f(x)=ax²+bx+c (a≠0) とすると 与えられた等式に代入して よって したがって f'(x)=2ax+b 3(ax²+bx+c)=x(2ax+b)+x2+4x-9 式を整理すると (a-1)x2+(26-4)x+3c+9= 0 これがxについての恒等式であるから a-1=0, 26-4=0, 3c+9=0 a=1,b=2, c=-3 (これはα≠ 0 を満たす ) f(x)=x2+2x-3 圏 □ 392{(ax+b)^}'=2a(ax+b), {(ax+b)}=3a(ax+b)" であることを用いて,次 の関数を微分せよ。 (1) y=(2x+1)² (3) y=(-2x+1)³ (2) y=(x-1)³ *393 1辺の長さがxの正四面体がある。 (1) 正四面体の表面積をSとするとき, Sをxの関数で表せ。 (2) x が変化するとき, S の x=5における微分係数を求めよ。 ⑦394 2次関数f(x) が次の等式を満たすとき, f(x) を求めよ。 (1) f(x)+xf'(x)=6x²-9x+1 *(2) f(x)+(x+2)f'(x)=9x2+8x-3 第6章 微分法と積分法 No D

（3）の別解どんな変形してるのか分からないです

基礎問 168 第6章 積分法 92 指数関数の積分 次の定積分の値を求めよ. (1) fe²(e²+1)³dx (3) fore-dr 指数関数のゴチャゴチャ型です.積分においてeのもつ最大の利 益は「(e*)'=e"」ですが,その理由は 89 注の文章にかいてありま す。すなわち、 何かをひとまとめに考えたとき, その微分がかけてあれば、 必ず置換積分ができる からです。ただし,この基礎問も単にこの知識だけでゴールに着けるわけでは ありません。 (2) 解答 (①1) See +1)'d において, ef=t とおくと x: 0→1のとき, t1→e dt *k, d=e² y_ dt=e²dx dr d.x また、 [(1+1)dt=1/12 (t+1)=1/((e+1)-2"} (e+1)³-8 3 ==-p²-t (別解) (+1)をひとまとめと考えると, その微分は...) √ (@e² + 1)²(e ² + 1) dx = [ { (e ² + 1)³] ² = ² (e+1) ³-8 3 (2)において, ltex=t とおくと 1→0 のとき, t:1+e→2 dt dt dr 無理に展開する必要はない .. dt 1-t また, =dx dt tet (1-t) =[log (t-1)-logt]" =[log¹=¹11** 1 2e =log_ --log- 2 1+e 演習問題 92 e 1+e dx et (²) ₁₁ ===S²₁0 ²+1 -dx = L-₁ (@²+1) dx = [108(e²+1)]", -dx= -1 40-log2-log- dx 2e ･1te (3) Seredr において,r=t とおくと x: 0→1のとき, t: 0→1 dt ポイント 1+e t(t-1) - S2 + ( + 1 -1 -1 ) d t (89) 1+e e 1+e -=10g- =10g =2より 1/12/dt=zd =xdx (別解 (2) ひとまとめと考えると･・･) =log2-log(e^'+1) Ledt fedt = [-e-1-(¹-¹) fredx==(-2²Yedz Cl dr 分子分母に²をかける = — ²/² √ ^ ( − x ²³)² e ²* dx = - 1²/ [(e-1 Jo =1/(1-1/2) (あるいはe-²) からできている式の積分は e²=t (あるいはef=t とおくことを考える 169 第6章

2枚目の写真のようにやったのですがどうしてだめなんですか？

454 次のxの関数の導関数を求めよ。 XS(21+3)de 第3節 積分法 111 *(2) S(2+3t-4)dt B問題 教 p.217

右側のステップ4のx=aを代入するとのところからわかりません

第6章 微分法と積分法 第3節 積分法 8-1 定積分の定義 定積分 ●定積分とは| ② グラフy=f(x)とx軸、y軸、y軸に平行な直線で囲まれた部分の 面積は、関数f(x)とどのような関係にあるか? f(x)=1 f(x)=x f(x)=x+1 f(x)=x² f(x)=x³ を求める計算! y=f(x), x軸で囲まれた 10~xの面積 横 C te² 1/2x2x 1/3x ² 3 ●積分と微分の関係 ? a≦x≦bの範囲でf(x)≧0のとき一簡単にするため y=f(x)、x軸、x=a、x=bで 囲まれた部分の面積Sを求めよう! step. 1 αからxまでの面積をS(x) とする。 S(th) O ol a y 2 求める面積を微分すると、 関数f(x)になる y=f(x)のグラフで囲まれた面積を計算するときは、 微分の逆をする x x 1x S(xXx) 積分する x+1 xh S(b)=S b S(2ch) step. 2 xからx+hの間で、f(x)の最大値をM (x,f(x)) 最小値をm とする y=f(x) step.3 aubの面積 右の図より、 mh≤S(x+h)-S(x) ≤Mh S(x+h)-S(x) -SM h h→0のとき ms. (f(x)] [5'(x)] よって step.4 境界線を横行すると面積この逆 両辺をxで不定積分すると、 $CON S(x)=f(x)dx=F(x)+C x=a を代入すると よって f(x) [S'(x)=f(x) 面積を微分すると. 境界線になる S(a)=F(a)+C 0=F(a)+C C=-F(a) S(x)=F(x)-F(a) 範囲a~b ※f(x)を積分して、それに を代入したものから (x) x を代入したものを 引いてね、という記号 S(x+h) -S(x) ※F(x) という数に x=0を代入したものから a x ↑ ●定積分の定義と記号 <定積分の定義> F'(x)=f(x)のとき f(x)dx=[F(x]=F(b)-F(a) を代入したものを 引いてね､という記号 x+h すなわち m W 9 x=bを代入すると x+h S(b)=F(b)-F(a) S=F(b)-F(a) [[例13] 面積Sは、こうやって 計算することができる! ※ただし、 20に限る 14 a x=aからx=bまで 関数f(x) をxで 定積分する、という

数３積分の問題です。［1］でなぜy＝０が方程式の解だとすぐにわかるのでしょうか。

である EX すべての実数xに対して, 6238 Stf(x-1)dt = f( を満たす連続関数f(x) を求めよ。 よって x-t=s とおくと tとs の対応は右のようになる。 f(t)dt+sinx+cosx-x-1 し,微分方程式を作る。 | HINT まず x-t=s とおいて, 左辺を置換積分法で変形。 そして,がなくなるまで微分を繰り返 x t=x-s, dt=-ds t 0 - 1 S Sof(x-t)dt =f(x-s)(s) (-1)ds=xf,s(s)ds-Ssf(s)ds x x→0 みうちの原理。 [名古屋工大] ←-S=S. 積分変数に無関係な x を定積分の外に出す。

この続きの解き方を詳しく教えて欲しいです

▽ ✓ (2) ST e fx1 xlogxdx S

数３積分の問題です。 この問題は０からπの部分を回転−0からπ/2を回転かと思いました。なぜ指標のようになるのでしょうか。 それともう一つ積分区間の置き換えの方法がわからないです。

*** 30 Hy 軸の周りの回転体の体積 (2) 重要 例題 258 ●基本257 関数f(x)=sinx (0≦x≦²) について 関数 y=f(x)のグラフとx軸で囲まれ た部分をy軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vは,V=2π xf(x)dx で与えられることを示せ。 また, この体積を求めよ。 π ₁ 解答 指針 高校数学の範囲では, y=sinx をxについて解くことができない。 そこで, 立体の断面積 高校数学の範囲では、y=sinxをxについて解くことができ をつかみ、置換積分法を利用して解く。 この立体をy軸に垂直な平面で切ったときの断面は, 曲線 y=sinxの (x≧の部分を回転させた円) (0x部分を回転させた円) y=sinx (0≦x≦π) のグラフの0≦x≦2の部分のx座 標をxとし,xの部分のx座標をxとする。 V=S₁x²²dy-xSx²dy このとき,体積Vは ここで, y=sinx から 積分区間の対応は x については [1] x2 については [2] のようになる。 よって x=(yの式) に表せない場合 0 dy=cosxdx [1] ニール y 0 x 0 1 π 0 [2] XC 花→ COS v=xS²x² codx-FS²x²coxdx=-xx²cos.xdx π ([x"sinxL-25,xsinxdx)=2x(x/(x)dx π 2 π -7/22 0 V= もも 0 ロ TC #1: V=2xxsinxdx=2x-xos x]+Scos xdx)=2x(x+[sinx)=2x² また 0 $5.1.23 LXXX ソ y=sinx ((0≤x≤n) π 2 TX

部分積分法や置換積分法って何種類かあると思いますがどこで判断して使い分けるのが分かりやすいですか？ 今はなんとなくこれだ！っていうのでやっているので、これだからこれを使うという確証がほしいです。

2番の線を引いてるところが分かりません。何で同じ関数なのに違う関数として扱うんですか？

積分法 体積 小テスト④ 1 曲線 C を媒介変数 0≦t≦1 を用いて, (1) 曲線の概形をかけ。 (2) 曲線 Cとx軸で囲まれた部分が,y軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。 (1) x'= -2t,y'=1-3t2 π =T = 0 t 0 x² (2) 0≤t≤- 8/8 x 1 y0 ↑ 2√√3 9 32 105 T 二十 2. x₁²dy-T 7+ 1 |0|2|3 2√3 9 5 3 = π -dt -T =x '(1-12) 2(1-3t2)dt T π :5 のときのxをx1, √√√3 ← 0 1 ↓0 -2√√/3 9 =f(-3t° +7t¹-5t²+1)dt 10 (1, 0) x x2²dy 1 1x2dt √x=1-t² y=t-t³ と定める。 ≦t≦1のときのxをxとすると、 (神戸大)

数３積分の面積の問題なんですけど（2）で ∫［−1/2.1/2］−cos xdyと表してから xとyを調整していってはいけないのですか？この問題の解説でいうとxを置いているのですがいつも問題を解く時、何で置けば良いのか判断基準がわからなくなってしまいます。

西線x=g(y)2回 TH 基本例題 240 p.372 基本事項[3] 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 ① yelogx, y=-1, y=2e, y 軸 (2) y=-cosx (0≤x≤π), y=· 1 y=- 2 指針▷ まず,曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。 (1) y=elogxをxについて解きで積分するとよい｡ 解答 (1) y=elogx から x=ee -1≦y≦le で常に x>0 よってS=Sirdy [ect] [])=e•e²-e·e-²/² ・・・・・・ x についての積分で面積を求めるよりも、計算がらくになる。 (2) (1) と同じように考えても, 高校数学の範囲ではy=-cosx を x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。 なお,(1),(2) ともに 別解 のような, 長方形の面積から引く 方法 でもよい。 2016-0²- (2)y=-cosx から dy=si dy=sinxdx よって S=1 いくにしてい 187 -St =1-x (そしくはしてる はん xsinxdx® ・π・ π --*cos.x]+*coxx COS X 1 1 22 YA cos xdx 2 YA πC 2e 2、 1 2 ,y軸 0 S '1 2 -ez. 2e+1 SO 3 y=-cost T 2 !e² +601 x=e π π =-g.(-2)+5}+\sinx -5 ++0-2 3 3 π 練習 240 (1) x=y2-2y-3, y=-x-1 (2) y= =1/1/14.y=1. y=1/1/ym (3) y=tanx (0≤x<7), y=√3, y=1, y del 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 重要 246 ****** π x =2e³+e² YA x=g(y) d (1) の 別解 (長方形の面積か ら引く方法) S=e²(2e+1) =e³-e¹-² C -Se(elogx+1)dx -[e(xlogx-x)+x] 11 (②2)の S = ²/3 + - (1/2 + 1/ ) 11 S= π. s=Sg(y)dy π 常に g(y)≥0 12 (2) の 別解 (上と同じ方法 ) - cos x+ +)dx -²x+[sinx-x Op.387 EX213 8章 38 面積