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章
1 5t
種々の数列
奇数で
2/12 (n-1)n+1}-1-
これはn=1のときも成り立つ。
-1=n'-n+1
((2) (1)より 第群は初項が+1, 公差2項数nの等
差数列をなす。 よって, その総和は
n(2*(n²−n+1)+(n−1)+2}=n'
(3) 301 が第n群に含まれるとすると
よって
n+1301<(n+1)-(n+1)+1
n(n-1)≤300<(n+1)n
1 ...... ①
1から始まる奇数の
453
目の奇数は2k-1
41-141-1
n\za+ (n-1)d)
くまず,301 が属する群を
求める。右辺は第
(n+1)群の最初の数。
(n-1)は単調に増加し, 17・16=272, 18・17=306であ n(n-1)が単調に増加
るから, ①を満たす自然数nは
n=17
301 が第17群の番目であるとすると
(172-17+1)+(m-1) ・2=301
これを解いて
m=15
したがって, 301 は 第17群の15番目に並ぶ数である。
(前半) 2k-1301から
k=151
よって, 301 はもとの数列において, 151番目の奇数であ
する」とは、の値が大
きくなるとn (n-1)の
値も大きくなるというこ
と、
◄a+(m-1)d
452
基本 29 群数列の基本
奇数の数列を1/3, 5/7, 9, 11/13, 15, 17, 19|21,
n個の数を含むように分けるとき
(1) 第群の最初の奇数を求めよ。
(3) 301 は第何群の何番目に並ぶ数か。
00000
第助か
[類 昭和薬
(2)第n群の総和を求めよ。
指針 数列を,ある規則によっていくつかの
(群)に分けて考えるとき、これを群
数列という。
P.439 基本事項 重要
もとの数列
群数列では、次のように 規則性に注
目することが解法のポイントになる。
区切りを入れる
と分け方の規則
がみえてくる
① もとの数列の規則、群の分け方の規則
② 第群について,その最初の項, 項数などの規則
区切りをとると
もとの数列の差
則がみえてくる
数列
上の例題において,各群とそこに含まれている奇数の個数は次のようになる。
群 第1群第2群 第3群
第 (n-1) 群
81572 27
個数
1 | 3, 57, 9.11|
3個
2個
1個
[初項
(n-1) 個
個
公差の
1/12n(n-1)個
等差数列
る。 301 が第n群に含まれるとすると
(n-1)+1番目の奇数
1/12n(n-1)<1511/21n(n+1)
<第1群から
まで
(1) 第群の個数に注目する。 第群に
個の数を含むから, 第 (n-1) 群の末項ま
でに (1+2+3++(n-1)) 個の奇数が
ある。
第1群 11
第2群 3
第3群
n(n-1)<302≦n(n+1)
にある奇数の個数は
1個
ゆえに
5
7,9,11
2個
これを満たす自然数 n は, 上の解答と同様にして
1/2(+1)
n=17
3個
よって、 第群の最初の項は, 奇数の数列
1, 3, 5, の
第4群 13, 15, 17, 19
第5群 21,
4個
ある｡
{1+2+3+ ......+(n-1)+1)番目の項で
右のように、初めのいくつかの群で実験をしてみるのも有効である。
{(1+2+3+4)+1} 番目
(2)第n群を1つの数列として考えると,求める総和は,初項が (1) で求めた奇数 公
差が2項数nの等差数列の和となる。
(3) 第n群の最初の項をα とし,まずα 301 <an+1 となるnを見つける 。 nに具
体的な数を代入して目安をつけるとよい。
① 数列の規則性を見つけ、区切りを入れる
CHART 群数列
[2] 第k群の初項項数に注目
基本例題 29 の結果を利用しての公式を導く
基本例題29において,第n群までのすべての奇数の和は、解答 (2) の結果を利用すると
13+2³+3³++n³=k'
一方、第n群の最後の奇数を、 第 (n+1) 群の最初の項を利用して求めると
{(n+1)-(n+1)+1}-2=n+n-1
またもとの数列の第n群までの項の数は 1+2+3+......十九
ゆえに、第n群までのすべての奇数の和は
1/21/21m(n+1)(1+(n+n-1)}={/12m(n+1)}
検討
1=1/2m(n+1)
したがって, = {/12n (n+1)}" を導くことができる。
h-1
