【解答】
(2) ①から
2. 数列{an} はすべての自然数nについて
Σax = 10 a² + 1⁄2ª₂ − 3
an-
k-1
(1)
とする.①にn=1 を代入すると
をみたす. 以下の問に答えよ.
(1) a1 をすべて求めよ.
(2) a1 を an を用いて表せ.
(3) α = 11 となる組 (a1, az, a) を 1つ求めよ.
(4) a=2023 となる自然数nは存在しないことを示せ.
Σax = 10 ₁² + 1/2a₁-3
ak=
① 2.
k=1
a₁ = 10 a ₁² + 1 1/2 α₁ - 03/30
ar
②① より
ai²-5a-6=0
(a1+1)(α1-6) = 0
a=-1,6
#+1
Σax = 10 an+ 1 ² + 1/2an+1 - 3/
k=1
-
+
n+1
Σak- -Σak = 10 +1² + 1/2+1-3 - (10 a² + 1/2a₂ − ³ )
k=1
k=1
an+1²
an+1 =
ants 1/10am-12-110422+1/12/200-1-12/20m
-an²
ゆえに an+1=-a" または an+1=an+5
(3) α411となる例の1つとして
an
an+1²-an²-5an+1-5an=0
(an+1+an)(an+1-an) - 5(an+1+an)=0
(an+1+an)(an+1-an-5)=0
an+1+an = 0 または an+1 -an-5= 0
a=-1, a2=-a1=1, a3=a2+5=6,a=a3+5=11
がある.ゆえに、求める組 (a1,a2,a3) の1つは
(答)
2
(a1,a2,a3)=(-1,1,6
(4) 以下の合同式は5を法とする. すべての自然数nについて
「an=1,4」
であることを数学的帰納法で示す.
(I) a1=-1,6であり, -1=4,6=1であるからn=1のとき③は成り立つ.
(ⅡI)n=kのとき③が成り立つとする.
= 1 ならば, ak10-14 または ak+1 = ak+5=6=1
ak4 ならば,k+1=-ak-4=1 または k+1=ak+5=9=4
ゆえに,n=k+1のときも③は成り立つ.
【解説】 1°
【解説】 1°
【解説】 2°
【解説】 3°
