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重要 例題 62 位置ベクトルと内
1辺の長さがαの正四面体 ABCD において, AB=1, AC =c, AD=d とする。
| 辺AB, CD の中点をそれぞれ M, N とし,線分 MN の中点を G, ∠AGB = 0
する｡
(1) AN, AG, BG をそれぞれ, c, i で表せ。
(2) GA, GA･GB をそれぞれ a を用いて表せ。
(3) coseの値を求めよ。
指針 (1) 中点の位置ベクトルの利用。
解答
(2) |GA|=|AG|=AG・AG, GA・GB=AG・BG
(3) GA・GB=|GA||GB|cos0
(1) AN=¹/(c+d)
角形であることに注目すると |GA|=|GB|
よって, ① は GA･GB = | GA cos0 となるから, (2) の結果が利用できる。
(1) の結果を利用して計算。
ここで, △ABN は AN=BN の二等辺三
AG-12(AM+AN)=1/21/26+1/2(c+d)}
{
= (b +c+d)
BG-AG-AB=1/(-36+c+d)
(2) 16|GA|=|4Aг²=(b+c+d)·(b+c+d)
= 16 ³²+ | čľ³²+¦à³²+2(b·c+c•à+à·b)
=3a²+2×3a²cos60°=6a²
16G÷GB=4AĠ•4BG=(b+c+d)·(−3b+c+d)
=−3|6³²³+ [č ³²+ |ãľ²-26•c-2b-d+2c.d
=-a²-2a²cos60°=-2a²
よって
|GA|=2234", GAGE=Q
(3) AM = BM, AN=BN であるから AB⊥MN
ゆえに,|GA|=|GB | であるから
GA・GB=|GA||GB|cos0=|GA|cos A
(2)から12/aicose
a² 3
8
8
8
[類 熊本大]
ゆえに cos0=
3
B
h
M
基本53
||=||=||=aから
b·c=c∙d=d·b
=a² cos 60°
分数の計算を避けるため、
4AG=6+c+d,
4BG=-36+c+d
として計算。
|AN|=|BN|=
a²
GA.GB=- 8'
|GA³²=a² HX³
③ 62 α (1-a) に内分する点をそれぞれP, Q, R とし,AB=x, AD=y, AA'=
練習 1辺の長さが1の立方体ABCD-A 'B'C'D' において, 辺AB, CC', D'A' を
とする。 ただし 0<a<1とする。
(1) PQ, PR をそれぞれx,yを用いて表せ。
(2) |PQ|: |PR| を求めよ。
(3) PQとPR のなす角を求めよ。
p.475 EX43
