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重要 例題 95 漸化式と極限(はさみうち)
[類 神戸大]
0<a<3, an+1=1+√1+an (n=1,2, 3, ......) によって定められる数列
{an} について,次の (1) (2) (3) を示せ。
(2) 3-an+1<.
(1) 0<an<3
ART O SOLUTION
求めにくい極限
CHART
はさみうちの原理を利用薫さら
漸化式を変形して, 一般項an をnの式で表すのは難しい。 各小問を次の方針で
考えてみよう。
(1) すべての自然数nについての成立を示すから, 数学的帰納法を利用。
0<a<3 を仮定する。
(2) 漸化式を用いて an+1 を an で表し, (1) の結果を利用する。
(3) (1), (2) で示した不等式を利用し, はさみうちの原理を使って, 数列 {3-an
.....
の極限を求める。 ・・・・・!!!
はさみうちの原理 すべての自然数nについて ann≦b のとき
liman=limbn=α ならば limC=α
→∞
11-00
解答
(1) 0<a<3 ①とする｡
[1] n=1のとき, 条件から0<a<3 が成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
0<a<3
n=k+1 のとき
<(3—an)
3-ax+1=3-(1+√1+ax)=2√1+ak
ここで, 0<a<3 の仮定から 1 <1+an<4
ゆえに 1 <√1+a2
よって, 2-√1+αk >0 であるから
3-4k+1 0 すなわち k+1 <3
また,漸化式の形から明らかに 0<ak+1
(3) liman=3
ゆえに, 0 <ak+1 <3 となり, n=k+1 のときにも ① は成
り立つ。
[1], [2] から すべての自然数nに対して①が成り立つ。
■3-an+1=3-(1+√1+an)=2√1+an
(2−√1+an)(2+√1+an) _4-(1+an)_²1
2+√1+an
2+√1+an
-(3-a)
(
141 基本事項 3 基本88
数学的帰納法で示す。
◆n=k+1 のときも
0 < ak+1 <3 すなわち
0 < akt かつ ak+1 <3
が成り立つことを示す。
漸化式から。
分子を有理化。
3-An
ここで(1)の結
2+√1+a, </
3-an+1<
<1/13(3-4)
(2)の結果から、n=2のとき
② ③ から
よって
ここで, lim
a<3-a<3(3-a-1<3) (3-2)+LE?
0<3-a₂ < (3)
m (2) (3-
100
< (1) ²(3-as)
がって
n-1
liman=3
11-00
lim (3-an)=0
121-00
>3であるから
(3-as)
72-00
2+√ltan
(3-α) = 0 であるから
a>b>0のとき
1
1</
-(3-On) 3 (3-0)
3-an-1
小さいから成り立つ</a
仮定すると, liman+1= α であることから, α=1+√1+α
が成り立つ。
|これから,α-1=√1+α であり,この式の両辺を2乗して
a²-3α=0
整理すると
ゆえに,α(α-3)=0,α> 0 から, α=3であると予想でき
る。これを.149のズームUPのようにグラフで確認して
みると、 右の図のように極限値が3となることが確かめら
</1/3 (3-an-²)
はさみうちの原理
INFORMATION 複雑な漸化式で定められた数列の極限
/an+1=1+√1+an, 0<a<3 で定義される数列{an} について, lima =α であると
72-00
y
3
y=1+√1+x
21
153
10
a₁
y=x
Az az
3
れる｡
なお,この無理式で与えられた漸化式から一般項 α を求め, 直接 lima =3である
ことを示すことは難しいので, lim (3-α)=0を示そうとして (2) の誘導の不等式が
与えられているのである。
2240
4章
10
数列の極限
PRACTICE・・・ 95 ④
u=a (0<a<1), an+1=-120'12/24%(n=1,2,3,..) によって定められる数
列{an} について,次の (1), (2) を示せ。 また, (3) を求めよ。
(1) 0<an<1
(2) r=a2のとき 1-ty≦r (1-an) (n=1, 2, 3, ......)
と演習)
[鳥取大)
ヨチャート
の紹介
本質を
全に定
に問
関大
参考書
題学信
