例題 344
内積と三角形の面積
点Oを原点とする.a=OA = (a1,a2), = OB = (b1,62), AOAB の面
積をSとする.このとき,次の式を示せ .
せ
s={√|ª³|b³²—(à• b)² = |a1b₁-a2b₁|
BA A
考え方とのなす角を0とすると、△OAB の面積Sは,
■解答
S=OA-OB sine= |a|6|sine 5+36
9=
2
である.
sin'0+cos0=1, d･L = |a||| cose を利用する
aとのなす角を90°<9<180°) とすると, sin00
より, sin0=√1-cos' であるから,
S=1/120A・OBsin=1/21|2|3|sine
Focus
-CO
よって, ①, ②より, 与式は成り立つ.
= |al|6|√1-cos²0=√|a³|b³(1-cos³0) -
100
= 1/2 √la 196³-|à P²|6|³ªcos²0
=√√ã³²|6³²-(¦â||b|cos0)²
-√ã²b³²—(ã·¯)²
また, lap=a²+a2²,16=622+62², at=ab+azb2 ①を成分で表す.
であるから,①に代入して
S=½ √(ai²+a2²)(b₁²+b₂²)— (a₁b₁+a2b2)²
=1/12 -√(a₁b₂)²—2a₁b₁a₂b₂+(a₂b₁)²
1021 = 0
AO 8=58
==√(a₁b₂-a₁b₁)² = |a₁b₁-a₂bil....
=3rd=d-0
0=A5+50+87
0=5+3+
HA
0
sin20+cos20=1
どのよ sin'0=1-cos20
sin0 >0 より
sin0=√1-cos20
B
△OAB で, OA= (a1,a2), OB=(b1,62) のとき,
s=-=|a₁b₂-a₂b₁|
lab2-
注 △ABCの面積も, a = AB, AC とおいて同様に求められる。
MASCH
ATEA
B
O
OH HA
の結果を利用して、次の三角形の面積を求めよ.
CADの面積
S
b
OS
-MA) 38 (15-30-38-A
**
a
√A2=|A|
S=absine
第9章
