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例題265
りは素数nは正の整数
m,n
を分母とする既約分数の総和を求めよ.
「解答
考え方 具体的な数で考えてみる。 たとえば,2と4の間 (2以上4以下) にあって、5を分母
とする数は、の順
既約分数の和比数列
He
は正の整数でm<nとする、mとnの間にあってか
(同志社大)
BERSAN
b. 5
つまり, 2,2
323
いる。項数は分子に着目して 11 (=20-10+1) 個である.
これらの和を求めて、そのうち既約分数にならないもの(整数)を引くとよい.
(=2), ₁
1. 12. 13. 14. 15 (-3). 16, 17, 18, 19, 29 (-4)
(20
5'5'
5'
5'5'5'5'
5
1
2+
(8-) X (82) S
Focus
m
以上以下でかを分母とする数は,
mp+1 mp+2
mp (= m),
(7J5 "(-))"81
2
差数列と等比数列
.....
01-88 P P² P
p
つまり,初項m,公差 の等差数列となる.sat
カー
項数np-mp+1,末項nであるから,その和 S」 は,
Si= 12 (np-mp+1)(m+n)………①
また,このうち,既約分数でない数は,
m, m+1, m+2,
n-1, n
つまり,初項m, 公差1の等差数列となる.
項数n-m+1,末項nであるから,その和 S2 は,
10
2+
5 となり,初項2、公差 1/3の等差数列になって
(S2=1/12 (n-m+1)(m+n). ②
(23.
よって,求める和をSとすると, ①,②より,
A
2
また=1/(m+n)
np-1_np (= n)
***
b²=ac
(m+n)(np-mp+1-n+m-1)
としてもよい.
分母が素数であるから,
既約分数でないものは
mからnまでの整数に
なる.
S=1/12 (np-mp+1)(m+n)-1/12 (n-m+1)(m+n) 項数n(m-1)
S1 から S2 を引けば、
まずはすべての分数の
和を求める.
¹2
公差 1 の等差数列
項数をんとすると,
(0 &n=m+ (k-1) ²1 £5,
=(n-m)p+1 だから,
S₁=((nm)p+1}
469
具体例で検算s=Si-Se
+n)(n-m)(n-1)具体例で検算
sobeda ÁHASEU ST-QUENE
具体的な数で調べて規則性をみつける
x(m+n)
既約分数の総和となる.
