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場合の数, 確率を中心にして
85 余事象の確率
求めよ.
(1) 試行が1回目で終了する確率p, および2回目で終了する確率p を
最初の試行で3枚の硬貨を同時に投げ、裏が出た硬貨を取り除く. 次の
試行で残った硬貨を同時に投げ、裏が出た硬貨を取り除く。以下この試行
をすべての硬貨が取り除かれるまでくり返す.
(2) 試行が回以上行われる確率を求めよ.
となり,これが①の確率, すなわち余事象の確率である.
したがって、求める確率は、
確率は,
(1)1(金) 2
-1
-1-2-1+22-2-2-3
よって, 3枚の硬貨すべてがn-1回後までに取り除かれている(残っていない)
場合の数、 確率を中心にして
g.jp/
1
(a-b)-a-3a2b+3ab²-6
を用いて展開した
3
(一橋大)
gn=1-1-
0.-1-(1-21+ 207 241)-
3
3
22n-2
3
23n-3
2-1
22-2+
解答
1
1
pi=
(1) 1回目の試行で終了するのは, 1回目に3枚とも裏が出た場合であるから,
以上より,
②n=1にすると,
3 3
20
3
3
1
In=
2"-1 221-2 23-3
+
2回目の試行で終了するのは,次の(ア), (イ), (ウ)の場合がある.
解説講義
(はじめ)
(ア) 3枚
(イ) 3枚
(ウ) 3枚
(1回後)
(2回後)
→
3枚
0枚
2枚
0枚
残っている硬貨の枚数の
変化を考えている
→
1枚
0枚
(の確率は,(12/2)×(1/2)=14
1回目は3枚とも表, 2回目は3枚とも裏
(イ)の確率は,sC) (12) (1/2)×(1/2)=132
(ウ)の確率は,,C(1/2) (1/2)×(12)=1/65
3
よって、2回目の試行で終了する確率p2 は,
1 3 3 19
P2= + +
64 32 16 64
(2) 1回目の試行は必ず行うので, 91=1である.
n≧2 とする. 試行が回以上行われるのは,
1回目は、3枚中2枚が表で1枚が裏
であり,その確率は, 反復試行の確率
と同じ考え方により,
となる.
その上で、2回目は2枚とも裏である
n-1回の試行の後に, 少なくとも1枚の硬貨が残っている場合
である.そこで,余事象の確率, すなわち,
n-1回の試行の後に, 3枚の硬貨すべてが取り除かれている確率・・・①
を考える.
1枚の硬貨に注目したとき,この硬貨がn-1回の試行の後に残っているのは,
1
\n-l
n-1 回のすべてで表が出た場合であり,その確率は,
である. これより,
2
1枚の硬貨に注目したとき, n-1 回後までに取り除かれている (残っていない) 確
率は, 1-1/2 である.
28+120=1(=q)となるので,②はn=1でも正しい。
①で 「n-1回」のことを考えているので、(2)の
解答の2行目で、 「n≧2」と断っておいた (n=1
とすると,0回の試行になってしまうので)。
そこで、 ②で求めたQがn=1 でも正しいこと
を確認した
確率は, 「題意を正しく捉えて状況を整理し, 冷静に、そして的確に処理をしていく力」が
求められる. “感覚” や “雰囲気” で解いていたら、いつになっても確率の得点は伸びていか
ない(2)を考えたときに,出題者の要求を“感覚”ではなく、論理的に解釈して正解できた
だろうか?次のように1つずつ丁寧に計算し、正解を導き出せばよい。
試行が回以上行われるための条件は, n回目の試行を行うときに硬貨が少なくと
も1枚残っていることである.そのような確率が qm である.
「少なくとも~」という確率を求めたいから、余事象に注目する。余事象は, n回目
の試行を行うときに硬貨が1枚も残っていない, つまり, n-1回後までに3枚の硬貨
すべてが取り除かれてしまっていることである.
(3枚の硬貨は独立であるから,まず1枚の硬貨に注目し、これが1回後までに
取り除かれてしまう確率Pを求めれば,余事象の確率はP3となる.
(iv) ところで,Pはn-1回目までの試行で少なくとも1回裏が出る確率であるから、
Pを求めるときにも余事象 (n-1回の試行で毎回表が出る) に注目する.
(v) qn の余事象の確率がP3であることから, n=1-P3となる.
(2)が解けなかった人でも, (i)から (v)の考え方の手順を読んでしまうと,(2)がそれほど難し
い問題ではないと気がつくだろう.しかしながら,Pを求めるところを求めるところの
2ヶ所で余事象の確率を利用するので,その部分で混乱して間違ってしまう可能性がある、
問題文に「少なくとも~」 と露骨に書かれていると多くの人が迷わずに余事象に注目するが、
「少なくとも~」 と書かれていなくても、題意を解釈した上で余事象に注目した方がよいと判
断すべき問題はよくある. 確率の問題では、余事象をつねに意識しておきたい。
文系
数学の必勝ポイント・
余事象の確率
「少なくとも〜」と書かれていなくても、つねに意識しておく
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